上海南汇中学 2018 学年度高一第一学期期末数学试卷
时间：90 分钟 满分：100 分 命题人：唐丽聪 周华 审题人：闵丽红
一、填空题（共 36 分，每小题 3 分）
1. 
设 A = {x x ³ 0}， B = {x x < 3}，则集合 A I
B = .
2. 设扇形的周长为8cm ，半径为2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .
3. 已知 f (x)=
x ，则 f -1 æ 1 ö = .
1 + x
ìlog x
4. 
设函数 f (x)= í 2
ïî 2x
ç ÷
è ø
(x > 0)
(x £ 0)
，则 f éë f (2)ùû = .
5. 设 A = {x -1 £ x £ 1}， B = {x x < a}，若 A Í B ，则实数 a 的取值范围是 .
6. 已知幂函数 y = (m2 - m - 1)xm2 -2m-3 是奇函数，则 m = .
7. 已知函数 y = f (x)的定义域是[0, 3]，则函数 y = f (2x + 1)的定义域是 .
8. 已知偶函数 y = f (x)在区间[0, +¥)上的解析式为 f (x)= 2x + x ，则 y = f (x)在区间
(-¥, 0)上的解析式 f (x)= .
9. 定义在[-1,1]上的奇函数 f (x)满足：当 x ³ 0 时， f (x)单调递减，若存在实数 m ，使得不等式 f (1 - m)< f (2m)成立，则实数 m 的取值范围是 .
æ 1 ö x-1
10. 
若函数 y = ç ÷
è ø
+ m 的图象与 x 轴有公共点，则实数 m 的取值范围是 .
11. 
定义 F (a, b)= ìa, a £ b ，已知函数 f (x)， g (x)的定义域都是 R ，现有下述命题：
îb, a > b
①若 f (x)， g (x)都是奇函数，则 F (f (x), g (x))为奇函数；
②若 f (x)， g (x)都是偶函数，则 F (f (x), g (x))为偶函数；
③若 f (x)， g (x)都是增函数，则 F (f (x), g (x))为增函数；
④若 f (x)， g (x)都是减函数，则 F (f (x), g (x))为减函数；
则这些命题中，真命题的个数为 个.
12. 已知 f (x)= ax - b (a > 0, a ¹ 1)， g (x)= x + 1 .若对任意 x Î R ，不等式 f (x)× g (x)£ 0 恒成
立，则 1 + 9 的最小值是 .
a b
二、选择题（共 12 分，每小题 3 分）
13.“ a = 1”是“函数 f (x)= x2 - 2ax 在区间[1, +¥)上为增函数”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.若实数 a, b 满足 a > b ，则下列不等式成立的是（ ）
A. a > b
B. a3 > b3
C. 1 < 1
a b
D. ab2 > b2
15. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：同时起跑后，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，下列图形表示的是乌龟和兔子所行的路程 s 和时间t 的函数图象， 则与故事情节相吻合的是（ ）
|
16. 
对于函数 f (x)，若存在区间 I = [m, n]，使得{y y = f (x), x Î I}= I ，则称函数 f (x)为
“可等域函数”.区间 I 为函数的一个“可等域区间”.给出下列三个函数：
① f (x)= x ；② f (x)= 2x2 - 1 ；③ f (x)= 1 - 2x ；
则其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答题（共 52 分，第 17 题 8 分，第 18 题 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第21 题 14 分）
17. 
若不等式 1 > 1 的解集为 A ，函数 g (x)= x
的定义域为 B ，全集U = R ，
求集合 A ， B ， A I
(ðU B)及(ðU A)U B .
18. 
已知函数 f (x)= log (mx2 - 3mx + 2)， m Î R .
（1） 若 m = 1，求函数 f (x)的单调递减区间；
（2） 若函数 f (x)的定义域为 R ，求实数 m 的取值范围.
19.
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上海某工厂以 x 吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是æ 5x + 1 - 3 ö 万元，
ç x ÷
è ø
其中1 £ x £ 10 .
（1） 要使生产该产品 2 天获得的利润不低于 30 万元，求 x 的取值范围；
（2） 要使生产 900 吨该产品获得的利润最大，问：该厂应该取何种生产速度？并求最大利润.
20.已知函数 f (x)= x + m - 1(x ¹ 0)
x
（1） 当 m = 2 时，求证 f (x)在(-¥, 0)上是单调递减函数；
（2） 若对任意的 x Î R ，不等式 f (2x )> 0 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3） 讨论函数 f (x)的零点个数.
21.已知 x Î R ，定义： f (x)表示不小于 x 的最小整数，例如： f ( 3 )= 2 ， f (-0.6)= 0 .
（1）若 f (x)= 2019 ，求实数 x 的取值范围；
（2）若 x > 0 ，求函数 g (x)= 6 +
1
3x + 1
的值域，
并求在“ x > 0 ”条件下，满足 f (6x + f (x))= f (g (x))的实数 x 的取值范围；
（3）设 g (x)= x + a × - 2 ， h (x)=
-4x2 + 20x - 22
2
，若对于任意的 x1 , x2 , x3 Î(2, 4]，都
x x - 5x + 7
有 g (x1 )> h (x2 )- h (x3 ) ，求实数 a 的取值范围.
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