上海市浦东新区川沙中学南校八年级（下）第二次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题：（每题3分，共18分）
1．（3分）一个多边形的每一个外角等于72°，这个多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
2
．（3分）已知：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等腰梯形．这5种图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，∠A
=100°，则∠C=（ ）
A．80° B．70° C．75° D．60°
5．（3分）顺次连结等腰梯形四边中点所得到的四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
6．（3分）在矩形ABCD中，|AB|=
，|BC|=1，则向量（AB+BC+AC）的长度为（ ）
A．4 B．
C．或
D．
二、填空题：（每题3分，共36分）
7．（3分）已知平行四边形一组对角的和等于270°，那么在这个平行四边形中较小的一个内角等于 度．
8．（3分）梯形的下底长为12cm，中位线长为8cm，则它的上底长为 cm．
9．（3分）向量：
﹣
+
= ．
10．（3分）有一个内角等于120°的菱形，周长为12，则较短的对角线长为 ．
11．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为 ．
12．（3分）正方形的对角线长是
cm，则正方形的周长是 ，面积是 ．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
13．（3分）如果等腰梯形的腰长是5，上、下底的长分别为3、9，那么它的面积为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB=
BC，BE=BC，那么∠DCE= 度．
15．（3分）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是AB的中点．已知AC=8cm，BD=6cm，则OE= ．
17．（3分）已知正方形ABCD的边长为6，点E是边BC的中点．联接AC、DE相交于点F，M、N分别是AC、DE的中点，则MN的长是 ．
18．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是 ．
三、解答题：（共46分）
19．（8分）如图已知：矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O．
（1）利用图中的向量表示：
+
= ；
（2）利用图中的向量表示：
﹣
= ；
（3）如果|
|=5，||=5，则|
|= ．
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．
（1）求：菱形ABCD的面积；
（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．
21．（6分）如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形．
求证：OE与AD互相平分．
22．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．
（1）求证：四边形AMND是平行四边形；
（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．
23．（12分）在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；
（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．
上海市浦东新区川沙中学南校八年级（下）第二次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共18分）
1．（3分）一个多边形的每一个外角等于72°，这个多边形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：360°÷72°=5，则多边形的边数是5．
故选：C．
2．（3分）已知：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等腰梯形．这5种图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：①平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；
②矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
④等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形；
⑤等腰梯形，不是中心对称图形，是轴对称图形；
综上所述，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有矩形和菱形共2种．
故选：A．
3．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边
形，正确，是真命题；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，错误，是假命题；
故选：D．
4．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，∠A=100°，则∠C=（ ）
A．80° B．70° C．75° D．60°
【解答】解：∵AB=AD
∴∠ADB=
（180°﹣∠A）=40°
又∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB=40°
又∵BC=BD
∴∠C=（180°﹣∠DBC）=
（180°﹣40°）=70°．
故选：B．
5．（3分）顺次连结等腰梯形四边中点所得到的四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【解答】解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，
求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC、BD．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=
AC．
同理FG=
BD，GH=AC，EH=BD，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
6．（3分）在矩形ABCD中，|AB|=
，|BC|=1，则向量（AB+BC+AC）的长度为（ ）
A．4 B．
C．或
D．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=
，|BC|=1，
∴|
|=
=2，
∴向量（AB+BC+AC）的长度=2||=4．
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共36分）
7．（3分）已知平行四边形一组对角的和等于270°，那么在这个平行四边形中较小的一个内角等于 45 度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=270°，
∴∠A=∠C=135°，
∴∠B=180°﹣∠A=45°，
∴在这个平行四边形中较小的一个内角等于45°．
故答案为：45．
8．（3分）梯形的下底长为12cm，中位线长为8cm，则它的上底长为 4 cm．
【解答】解：设梯形的上底长为xcm，
由梯形中位线定理得，×（x+12）=8，
解得，x=4，
故答案为：4．
9．（3分）向量：
﹣
+
= 
．
【解答】解：由时间最法则可知：﹣+=+（+
）=+
=
，
故答案为
10．（3分）有一个内角等于120°的菱形，周长为12，则较短的对角线长为 3 ．
【解答】解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
则∠B+∠BAD=180°，
∴∠B=60°，
∵AB=BC=CD=DA=
=3，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=3，
故答案为：3．
[来源:学。科。网]
11．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为 1 ．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=×10=5，
∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，
∴FD=AB=×8=4．
∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1．
故答案是：1．
12．（3分）正方形的对角线长是
cm，则正方形的周长是 12cm ，面积是 cm2 ．
【解答】解：正方形的对角线BD长为3
，
∵BD=
=3，且AB=AD，
∴AB=AD=3，
故边长为3cm，周长为12cm，面积为9cm2．
故答案为：12cm，9cm2．
13．（3分）如果等腰梯形的腰长是5，上、下底的长分别为3、9，那么它的面积为 24 ．
【解答】解：如图，过点A作AE∥CD交BC于E，作AF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE，AE=CD，
∴AB=AE，BE=BC﹣AD=9﹣3=6，
∴BF=BE=×6=3，[来源:学.科.网]
在Rt△ABF中，AF=
=
=4，
∴等腰梯形的面积=（3+9）×4=24
故答案为：24．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB=BC，BE=BC，那么∠DCE= 15 度．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠DCB=90°，AD∥BC，
∵BC=BE=2AB，
∴sin∠AEB=，
∴∠AEB=30°，
∴∠EBC=∠AEB=30°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=75°，
∴∠ECD=90°﹣75°=15°，
故答案为15．
15．（3分）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 8或10 ．
【解答】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=1，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；
②当AE=2，DE=1时，
同理得：AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；
故答案为：8或10．[来源:学|科|网]
16．（3分）如图，菱形ABCD中，点E是AB的中点．已知AC=8cm，BD=6cm，则OE= 
cm ．
【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，OB⊥OC，
又∵AC=8cm，BD=6cm，
∴OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，
在直角△BOC中，
由勾股定理，得BC=
=5cm，
∵点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=
cm．
故答案为cm．
17．（3分）已知正方形ABCD的边长为6，点E是边BC的中点．联接AC、DE相交于点F，M、N分别是AC、DE的中点，则MN的长是 1.5 ．
【解答】解：连接BD，
∵E是边BC的中点，
∴BE=
BC=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M是BD的中点，又N是DE的中点，
∴MN=BE=1.5，
故答案为：1.5．
18．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是 2
﹣2 ．
【解答】解：如图，设CD与AB1交于点O，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，
∴AE=
，
由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，
∴S△ABB1=BA•AB1=2，S△ABE=1，
∴CB1=2BE﹣BC=2﹣2，
∵AB∥CD，
∴∠OCB1=∠B=45°，
又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，
∴CO=OB1=2﹣．
∴S△COB1=O
C•OB1=3﹣2，
∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2
）=2﹣2．
三、解答题：（共46分）
19．（8分）如图已知：矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O．[来源:学.科.网]
（1）利用图中的向量表示：
+
= 
；
（2）利用图中的向量表示：
﹣
= 
；
（3）如果||=5，|
|=5，则|
|= 
．
【解答】解：（1）利用图中的向量表示： +
=
；
故答案为
（2）利用图中的向量表示：
﹣
=
；
故答案为
（3）如果|
|=5，|
|=5，则|
|=|
|=5，
∴|
|=||=
，
故答案为
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．
（1）求：菱形ABCD的面积；
（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=DO，AC⊥BD
∵AC=24，AO=AC=12，
在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2，
又AB=13，
∴BO=
=5，
∴BD=10，
∴S菱形ABCD=
×10×24=120，
∴菱形ABCD的面积为120cm2．
（2）∵DB×AC=BC×DE，
∴DE=
，
∴DE的长为cm．
21．（6分）如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形．
求证：OE与AD互相平分．
【解答】证明：连接AE，如图．
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴DE∥OC，DE=OC
∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴AO=OC．
∴DE∥OA，DE=OA
∴四边形ODEA是平行四边形，
∴OE与AD互相平分．
22．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．
（1）求证：四边形AMND是平行四边形；
（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵BC=3AD，BC=3MN，
∴AD=MN，
∵AD∥BC，
∴四边形AMND是平行四边形．
（2）解：四边形AGHD是菱形．
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠MBG，
∵∠BGM=∠DGA，AD=BM，
∴△BGM≌△DGA（AAS），
∴AG=GM．
同理可得AH=HC，
∴GH是△AMC的中位线，
∴GH∥BC，
，
∴GH∥AD，GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AGHD是菱形．
23．（12分）在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；
（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10，
∴HC=
，
∴AD=BH=BC﹣CH，
∵BC=18，
∴AD=BH=12，
若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP，
∵AQ=12﹣2t，BP=3t，
∴12﹣2t=3t
∴
（秒），
答：四边形ABPQ为矩形时t的值是
．
（2）由（1）得CH=6，
如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
同理：PG=6，
易知：QD=GH=2t，
又BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，
∴
，
∴k的取值范围为：k＞12cm，
答t与k的函数关系式是t=
，k的取值范围是k＞12cm．
（3）假设存在时间t使PQ=10，有两种情况：
①如图2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴
，
②如图3：四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD=PC=2t，
又BP=3t，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴
（秒），
综上所述，存在时间t且秒或
秒时P、Q两点之间的距离为10cm，
答：在移动的过程中，存在t使P、Q两点的距离为10cm，t的值是
秒或
秒．
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