上海市浦东新区第三教育署2018-2019学年八年级（五四学制）上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
下列各式中为最简二次根式的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
化简
的结果是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资a万元，若以后每年绿化投资金额的年增长率均为x，则2017年绿化投资的金额为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知矩形的面积为10，则它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（ ）
A. 在BC边的垂直平分线上 B. 在BC边的高上
C. 在BC边所对角的平分线上 D. 在BC边的中线上
在函数y=
（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式中，正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
已知f（x）=
，那么f（1）=______．
函数
的定义域是______．
方程x2=8x的根是______．
化简：
（b≥0）=______．
经过点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是______．
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．
如果反比例函数y=
的图象在每个象限内y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______．
已知函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，则m=______．
在实数范围内分解因式：3x2-6x+1=______．
如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．
若关于x的一元二次方程a2x2+（2a-1）x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是______．
如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为______（用含t的代数式表示）．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
解方程：（x-1）2-2（x-1）=15．
四、解答题（本大题共8小题，共53.0分）
计算：
+3
-
．
已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
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已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x-1成反比例，当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3，求y与x之间的函数关系式．
某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．
（1）服药后______小时，血液中含药量最高，达到每毫升______毫克，接着逐渐减弱．
（2）服药后5小时，血液中含药量为每毫升______毫克．
（3）当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式是______．
（4）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效时间x（小时）的范围是______．
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把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD=BE；
（2）判断AF和BE的位置关系并说明理由．
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已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
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如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数
的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13．
（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；
（2）求四边形OAFC的面积？
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如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
（1）求证：CM=EM；
（2）如果BC=
，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、是最简二次根式，故此选项正确；
B、x
=
，故此选项错误；
C、
=2
，故此选项错误；
D、
=
=
，故此选项错误；
故选：A．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式可得答案．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】
解：∵
＞1，
∴-1＞0，
∴
=
=-1．
故选：B．
本题应先判断与1的大小，再对原式进行开方．
本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要先讨论根号内的数的正负性，再开方．
3.【答案】A
【解析】
解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么2017年绿化投资的金额为a（1+x）2，
故选：A．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资a万元”，可得出代数式．
本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
4.【答案】B
【解析】
解：由矩形的面积10=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y=
（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：B．
首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
5.【答案】C
【解析】
解：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，
∴P在∠BAC的角平分线上，
故选：C．
根据角平分线的性质推出P在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】
解：∵A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3）在函数y=
的图象上，
∴y1=
，y2=
，y3=，
∵k＞0，
∴y3＜0＜y1＜y2．
故选：D．
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，y3=，然后根据反比例函数的性质得到y3＜0＜y1＜y2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
7.【答案】1
【解析】
解：当x=1时，f（1）=
=1，
故答案为：1．
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
8.【答案】x≠1
【解析】
解：根据题意，有x-1≠0，
解可得x≠1．
故答案为x≠1．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得自变量x的取值范围．
本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0．
9.【答案】x1=0，x2=8
【解析】
解：x2=8x，
x2-8x=0，
x（x-8）=0，
x=0，x-8=0，
x1=0，x2=8，
故答案为：x1=0，x2=8．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
10.【答案】2ab
【解析】
解：
=2ab
，
故答案为：2ab．
根据二次根式的性质进行化简．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11.【答案】以A为圆心，1厘米为半径的圆
【解析】
解：经过点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是以A为圆心，1厘米为半径的圆．
故答案为：以A为圆心，1厘米为半径的圆
故圆的定义即可解决问题．
本题考查轨迹，圆的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】两个角相等三角形是等腰三角形
【解析】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13.【答案】k＞
【解析】
解：∵反比例函数y=
的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴2k-1＞0，解得k＞
．
故答案为：k＞．
先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
14.【答案】-1
【解析】
解：由正比例函数的定义可得：m2-1=0，且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为：-1．
由正比例函数的定义可得m2-1=0，且m-1≠0．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
15.【答案】3（x-
）（x-
）
【解析】
解：3x2-6x+1
=3（x2-2x+
）
=3[（x-1）2-
]
=3（x-1+
）（x-1-）
=3（x-
）（x-
）．
故答案为3（x-）（x-）．
先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再用平方差公式分解因式．
本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式．
16.【答案】
【解析】
解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为
=13，
∵三角形的面积=×5×12=×13h（h为斜边上的高），
∴h=
．
故答案为：．
利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
17.【答案】a
且a≠0
【解析】
解：根据题意得a2≠0且△=（2a-1）2-4a2≥0，
解得a≤
且a≠0．
故答案为a≤且a≠0．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a2≠0且△=（2a-1）2-4a2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
18.【答案】2t
【解析】
解：由翻折的性质得，CE=C′E，
∵BE=2CE，
∴BE=2C′E，
又∵∠C′=∠C=90°，
∴∠EBC′=30°，
∵∠FD′C′=∠D=90°，
∴∠BGD′=60°，
∴∠FGE=∠BGD′=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFG=∠FGE=60°，
∴∠EFG=（180°-∠AFG）=（180°-60°）=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∵AB=t，
∴EF=t÷
=
t，
∴△EFG的周长=3×t=2
t．
故答案为：2t．
根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△EFG是等边三角形是解题的关键．
19.【答案】解：（x-1）2-2（x-1）-15=0，
[（x-1）-5][（x-1）+3]=0，
（x-1）-5=0或（x-1）+3=0，
所以x1=6，x2=-2．
【解析】
先移项得到：（x-1）2-2（x-1）-15=0，然后把方程看作关于x-1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20.【答案】解：原式=2+3×
-
×4
=2+2-
=3．
【解析】
直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
21.【答案】解：如图所示，点P1和点P2即为所求．
【解析】
先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
22.【答案】解：∵y1与x2成正比例，
∴y1=k1x2．
∵y2与x-1成反比例，
∴y2=
．
y=k1x2+．
当x=-1时，y=3；
x=2时，y=-3；
∴
．
解得：
．
∴y=x2-
．
【解析】
根据题意设出函数关系式，把x=-1时y=3，当x=2时，y=-3．代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
23.【答案】2 6 3 y=3x 1≤x≤5
【解析】
解：（1）由图象可得，
服药后2小时，血液中含药量最高，达到每毫升6毫克，接着逐渐减弱，
故答案为：2，6；
（2）由图象可得，
服药后5小时，血液中含药量为每毫升3毫克，
故答案为：3；
（3）当0≤x≤2时，设y与x之间的函数关系式为y=kx，
2k=6，得k=3，
即当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式是y=3x，
故答案为：y=3x；
（4）将y=3代入y=3x，得x=1，
由图象可知，当x=5时，y=3，
故这个最有效时间x（小时）的范围是1≤x≤5，
故答案为：1≤x≤5．
（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（3）根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（4）根据函数图象和（3）中的函数解析式可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】（1）证明：∵△CDE，△ACB都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，CB=CA，∠ACD=∠BCE=90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）解：结论：AF⊥BE．
理由：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=CBE，
∵∠CDA=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°，
∴AF⊥BE．
【解析】
（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可解决问题．
（2）结论：AF⊥BE，利用全等三角形的性质，根据“8字型”证明∠BFD=∠ACD=90°即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
【解析】
作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
26.【答案】解：（1）依题意，得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），
将D（3，2）代入，得k=6．
∴反比例函数的解析式为
；
设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m=
，
∴点E的坐标为（，4），
设直线OE的解析式为y=k1x，
将（，4）代入得k1=
，
∴直线OE的解析式为y=x；
（2）连接AC，如图，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
而AF=12，CF=13．
∴AC2+AF2=52+122=132=CF2，
∴∠CAF=90°，
∴S四边形OAFC=S△OAC+S△CAF
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
【解析】
（1）易得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），把D（3，2）代入
，得k=6，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为（m，4），将其代入
，得m=
，确定点E的坐标为（，4），然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
（2）连接AC，在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，利用勾股数易得AC=5，则有AC2+AF2=52+122=132=CF2，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF=90°，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．
27.【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点，
∴CM=BD．
同理ME=BD，
∴CM=ME．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴BD=
，
∵CM=BD，CM=y，
∴y=
（0＜x＜3），
（3）不变．
∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M是Rt△BED斜边BD的中点，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵MC=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．
【解析】
（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式；
（3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．
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