上海市浦东新区建平中学西校
九年级（上）第一次周练数学试卷
一．选择题（共6小题）
1．“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2．已知线段a、b、c、d，如果
，那么下列式子中不一定正确的是（ ）
A．ad＝bc B．a＝c，b＝d C．
D．
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能得到△ADE∽△ACB相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C： B．∠AED＝∠B：
C．AD•EC＝AE•AB： D．AD•AB＝AE•AC．
5．如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设
＝
，
＝
，用、表示
，下列结果中正确的是（ ）
A．
B．﹣ C．
D．
6．已知x：b＝c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共12小题）
7．已知2x＝3y，则
＝ ．
8．已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a＝3，b＝2，那么c＝ ．
9．如果
＝
＝
，则
＝ ．
10．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ．（用根号表示）
11．如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那大三角形中与之相对应的中线长是 cm．
12．若向量
与单位向量
的方向相反，且
，则＝ ．（用表示）
13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，
＝
，
＝
，试用向量，表示向量
＝ ．
14．如图，AD∥BE∥CF，AB＝2，BC＝3，DF＝8，则EF＝ ．
15．如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
16．如图△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形的边长x＝ cm．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝12，点F在边BC上且AF＝AD，∠DAF的平分线交边DC于点E，则DE＝ ．
18．已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则
的值是 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，平行四边形ABCO中，点E、F分别为边AB、BC的中点，AE与DF交于点O
（1）设
＝
，
＝
，请用向量，表示向量
；
（2）求作：向量
在
，
上的分向量．
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．
（1）如果
＝
，DE＝6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC上一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3．
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB＝8时，求△ABD的面积．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）求线段DE的长；
（2）求四边形DEMC的面积．
23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC＝AB•DE．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限且点A到x轴、y轴的距离分别是6、2，若反比例函数的图象经过点A、点B（4，b）．
（1）求出点A的坐标及反比例函数的解析式；
（2）连接OA、OB、AB．求△OAB的面积；
（3）过点A作AC垂直于x轴，过点B作BD垂直于y轴，垂足分别是点C、点D，AC和BD交于点E，连接AB、CD，求证：AB∥CD．
25．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE＝∠ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选：A．
2．已知线段a、b、c、d，如果
，那么下列式子中不一定正确的是（ ）
A．ad＝bc B．a＝c，b＝d C．
D．
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．
【解答】解：∵线段a、b、c、d，
，
∴ad＝bc，
＝
，
＝
，
无法得到a＝c，b＝d．
故选：B．
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边对应成比例作答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，，
∴
＝
，选项A、B、D正确；选项C错误．
故选：C．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能得到△ADE∽△ACB相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C： B．∠AED＝∠B：
C．AD•EC＝AE•AB： D．AD•AB＝AE•AC．
【分析】画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可；
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，
A、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
B、当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
C、当AD•EC＝AE•AB时，不能推断△ADE与△ABC相似；故本选项符合题意；
D、当AD•AB＝AE•AC时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设
＝
，
＝
，用、表示
，下列结果中正确的是（ ）
A．
B．﹣ C．
D．
【分析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量AB，又知题中EF为中线，所以只要准确把AB表示出来，向量EF即可解决．
【解答】解：∵
＝
、
，
∴
＝
＝
，
∴
．
故选：B．
6．已知x：b＝c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
【解答】解：∵x：b＝c：a，
∴
＝
，
A、作出的为＝，故本选项正确；
B、作出的为
＝
，故本选项错误；
C、线段x无法先作出，故本选项错误；
D、作出的为＝
，故本选项错误；
故选：A．
二．填空题（共12小题）
7．已知2x＝3y，则
＝ 
．
【分析】根据比例的基本性质（两个内项之积等于两个外项之积）解答即可．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴
，
∴
；
故答案为：
8．已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a＝3，b＝2，那么c＝ 
．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求c．
【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴a2＝bc，
即32＝2×c，
∴c＝．
故答案是：．
9．如果
＝
＝
，则
＝ 3 ．
【分析】根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：∵
＝
＝
，
∴y＝
x，z＝2x，
∴
＝
＝3；
故答案为：3．
10．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝ ﹣1+
．（用根号表示）
【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．
【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB•BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+
，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
11．如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那大三角形中与之相对应的中线长是 16 cm．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的对应中线的比等于相似比列出比例式，计算即可．
【解答】解：设大三角形中与之相对应的中线长为xcm，
∵两个相似三角形的面积之比是9：16，
∴两个相似三角形的相似比是3：4，
∴12：x＝3：4，
解得，x＝16，
故答案为：16．
12．若向量
与单位向量
的方向相反，且
，则＝ 
．（用表示）
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵长度为5，向量是单位向量，
∴|a|＝5|e|，
∵向量
与单位向量
的方向相反，
∴＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，
＝
，
＝
，试用向量，表示向量
＝ ﹣
+
．
【分析】利用三角形法则首先求出
，再利用重心的性质求出
即可．
【解答】解：∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵＝
+
，
∴＝﹣
+
，
∵G是重心，
∴AG＝
AD，
∴＝﹣
+
，
故答案为﹣
+．
14．如图，AD∥BE∥CF，AB＝2，BC＝3，DF＝8，则EF＝ 
．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴
＝
，
∵AB＝2，BC＝3，DF＝8，
∴＝
，
∴EF＝
，
故答案为：．
15．如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ 
．
【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得∠EDC＝∠ECD，从而EC＝DE；再DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得DE的长，即为EC的长．
【解答】解：∵DC为∠ACB的平分线
∴∠BCD＝∠ECD
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠BCD
∴∠EDC＝∠ECD
∴EC＝DE
∵AD＝8，BD＝10
∴AB＝18
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
＝
∵AD＝8，AB＝18，BC＝15
∴
＝
∴DE＝
∴EC＝
故答案为：．
16．如图△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形的边长x＝ 4 cm．
【分析】由正方形的性质得HG∥BC，可证△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求x的值．
【解答】解：如图，
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴
＝
，即
＝
，
解得x＝4cm．
故答案为：4．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝12，点F在边BC上且AF＝AD，∠DAF的平分线交边DC于点E，则DE＝ 
．
【分析】由勾股定理求出BF＝5，得出CF＝8，证明△AFE≌△ADE（SAS），得出FE＝DE，设FE＝DE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝13，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵AF＝AD＝13，
∴BF＝
＝
＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，
∵∠DAF的平分线交边DC于点E，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△AFE和△ADE中，
，
∴△AFE≌△ADE（SAS），
∴FE＝DE，设FE＝DE＝x，则CE＝12﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：82+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝
，即DE＝；
故答案为：．
18．已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则
的值是 2或
．
【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E的位置未定，需分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
（1）点E在线段AD上时，△AEM∽△CBM，∴
＝2；
（2）点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴＝
．
三．解答题（共7小题）
19．如图，平行四边形ABCO中，点E、F分别为边AB、BC的中点，AE与DF交于点O
（1）设
＝
，
＝
，请用向量，表示向量
；
（2）求作：向量
在，上的分向量．
【分析】（1）利用平行四边形的性质平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用平行四边形法则解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，延长DE交CB的延长线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BF＝CF，
∴
＝
，
∴
＝
+
＝
+
，
∵AD∥CH，
∴
＝
＝1，
∴AD＝BH，
∵
＝
＝
，
∴OF＝
AF，
∴
＝（+
）＝
+
．
（2）如图，作FG∥AB交AD于G，
向量
在
，
上的分向量分别为，
．
20．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．
（1）如果
＝
，DE＝6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
【分析】（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；
（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到∠FAE＝∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得比例求出DF的长即可．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝
＝，
∵DE＝6，
∴BC＝9；
（2）∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠ADE，
∵∠F＝∠F，
∴△AEF∽△DAF，
∴
＝
，
∵FA＝6，FE＝4，
∴DF＝9．
21．如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC上一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3．
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB＝8时，求△ABD的面积．
【分析】（1）由三角形的面积关系求出BD＝3DC＝6，得出BC＝BD+CD＝8，在△ADC与△ABD中，
，∠BCA＝∠ACD，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出
，可求出AD的长，由等腰三角形的性质和勾股定理可求AH的长，由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3．
∴BD＝3CD＝6，
∴BC＝BD+CD＝8，
∴在△ADC与△ABD中，
，∠BCA＝∠ACD．
∴△ADC∽△BAC．
（2）如图，过点A作AE⊥CD，
∵△ADC∽△BAC，
∴，
∴
，
∴AD＝AC＝4，且AH⊥CD，
∴DH＝CH＝1，
∴AH＝
＝
＝
，
∴△ABD的面积＝
×BD×AH＝3．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
（1）求线段DE的长；
（2）求四边形DEMC的面积．
【分析】（1）由勾股定理可求得AM的长，又由DE⊥AM，易证得△ADE∽△MAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AE、DE的长即可；
（2）四边形DEMC的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABM的面积﹣△ADE的面积，由矩形面积和三角形面积即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
∵M是BC中点，BC＝6，
∴BM＝3，
根据勾股定理得：AM＝
＝
＝5，
∵DE⊥AM，
∴∠ADE＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△MAB，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得：DE＝
，AE＝
，
即线段DE的长为；
（2）四边形DEMC的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABM的面积﹣△ADE的面积＝6×4﹣
×3×4﹣××＝
．
23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC＝AB•DE．
【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE＝∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到
，由于∠E＝∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到
，等量代换得到
，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE•DC＝AB•DE．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限且点A到x轴、y轴的距离分别是6、2，若反比例函数的图象经过点A、点B（4，b）．
（1）求出点A的坐标及反比例函数的解析式；
（2）连接OA、OB、AB．求△OAB的面积；
（3）过点A作AC垂直于x轴，过点B作BD垂直于y轴，垂足分别是点C、点D，AC和BD交于点E，连接AB、CD，求证：AB∥CD．
【分析】（1）由点A在第一象限且点A到x轴、y轴的距离分别是6、2，可求出点A的坐标，进而求出反比例函数的关系式，
（2）把点B的坐标代入反比例函数的关系式，可求出m的值，进而确定点B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABFC的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
（3）根据坐标可得到AE＝EC＝3，DE＝BE＝2，进而出四边形ABCD是菱形，得出结论．
【解答】解：（1）∵点A在第一象限且点A到x轴、y轴的距离分别是6、2，
∴点A（2，6）代入反比例函数关系式得，k＝2×6＝12，
∴反比例函数的关系式为：y＝
，
（2）把B（4，b）代入得，b＝
＝3，
∴点B（4，3），
∴S△OAB＝S△AOC+S梯形ABFC﹣S△BOF＝S梯形ABFC＝
（6+3）×（4﹣2）＝9，
答：△OAB的面积是9．
（3）∵BD⊥y轴，AC⊥x轴，A（2，6），B（4，3）
∴AE＝EC＝3，DE＝BE＝2，AC⊥BD，
∴ABCD是菱形，
∴AB∥CD．
25．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE＝∠ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【分析】（1）先根据∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求得AB＝5，sinA＝
，tanB＝
，再根据△ACD为直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后根据BE＝AB﹣AD﹣DE进行计算即可；
（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B＝∠DCE，∠CED＞∠B＝∠DCE，进而得出∠CED＝∠CDE，再根据∠B＝∠DCE，∠CDE＝∠BDC，得到∠BCD＝∠CED＝∠CDE＝∠BDC，最后求得AD的长；
（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的长，在Rt△CDH中，根据勾股定理得出：CD2＝x2﹣
x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出CD2＝DE•DB，即x2﹣x+9＝（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【解答】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，sinA＝，tanB＝，
如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，
∴CD＝AC•sinA＝
，
∴AD＝
＝
，
又∵∠DCE＝∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE＝CD•tan∠DCE＝×＝
，
∴BE＝AB﹣AD﹣DE＝5﹣﹣＝
；
（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B＝∠DCE，∠CED＞∠B＝∠DCE，
∴唯有∠CED＝∠CDE，
又∵∠B＝∠DCE，∠CDE＝∠BDC，
∴∠BCD＝∠CED＝∠CDE＝∠BDC，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝5﹣4＝1；
（3）如图所示，作CH⊥AB于H，
∵
×BC×AC＝AB×CH，
∴CH＝
，
∴Rt△ACH中，AH＝
＝，
∴在Rt△CDH中，CD2＝CH2+DH2＝（）2+（﹣x）2＝x2﹣
x+9，
又∵∠CDE＝∠BDC，∠DCE＝∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD2＝DE•DB，
即x2﹣
x+9＝（5﹣x﹣y）（5﹣x），
解得
．
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