九年级（上）月考数学试卷
一．选择题（共6小题）
1．已知线段a＝3，c＝12，则线段a和c的比例中项b是（ ）
A．±6 B．36 C．6 D．﹣6
2．已知：在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A．500m B．1000m C．5000m D．10000m
3．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．
＝
且∠B＝∠E
C．
＝＝
D．
＝且∠A＝∠D
4．将二次函数y＝x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，则所得到图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
5．如果二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0，b＞0 B．a＜0，c＜0，b＞0
C．a＞0，c＜0，b＜0 D．a＜0，c＜0，b＜0
6．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共12小题）
7．如果两个相似三角形对应的高之比是2：3，那么它们对应的角平分线之比是 ．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8cm，AE＝6cm，CE＝3cm，那么DB＝ cm．
9．如图AB∥CD，AD与BC相交于点E，如果AB＝2，CD＝4，BC＝5，那么BE＝ ．
10．在△ABC中AD是中线，若G是△ABC的重心，则AG：AD的值是 ．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AB，交BD于点G，交BC的延长线于点E，那么
＝ ．
12．如果二次函数y＝（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝ ．
13．y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x＝ ．
14．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ．
15．已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为 ．
16．已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k＝ ．
17．菱形ABCD边长为4，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC交点M，那么
的值是 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA：
（1）求点A坐标；
（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．
20．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥CD．已知AD＝3，AB＝4，求S△BCD．
22．在直角坐标平面内，点O在坐标原点，已知点A（3，1）、B（2，0）、C（4，﹣2）．
（1）求证：△AOB∽△OCB；
（2）求∠AOC的度数．
23．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠B，
（1）求证：△ABD～△DCE；
（2）点F在AD上，且
＝
，求证：EF∥CD．
24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）连结AM，求S△AOM；
（3）设点F是x轴上一点，如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的点F的坐标．
25．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．
（1）若
，求
的值；
（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）连接AG，若AD＝2，AB＝3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知线段a＝3，c＝12，则线段a和c的比例中项b是（ ）
A．±6 B．36 C．6 D．﹣6
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b，注意线段没有负值．
【解答】解：∵b是线段a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝3×12＝36，
∴b＝6（负数舍去），
故选：C．
2．已知：在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）
A．500m B．1000m C．5000m D．10000m
【分析】首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程
＝
，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，
根据题意得：＝，
解得：x＝100000，
∵100000cm＝1000m，
∴A，B两地的实际距离是1000m．
故选：B．
3．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．
＝
且∠B＝∠E
C．
＝＝ D．
＝
且∠A＝∠D
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、
＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
故选：B．
4．将二次函数y＝x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，则所得到图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知：二次函数y＝x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，则所得到图象的函数解析式为：y＝x2+1．
故选：A．
5．如果二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0，b＞0 B．a＜0，c＜0，b＞0
C．a＞0，c＜0，b＜0 D．a＜0，c＜0，b＜0
【分析】抛物线开口方向，对称轴，与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，从而做出判断．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴偏在y轴右侧，a、b异号，因此b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此﹣c＞0，即：c＜0，
故选：B．
6．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：由题意得：BC＝2，AC＝4，即BC：AC＝1：2，且∠C＝90°，
图中直角边为
，2，之比也为1：2，
则与图中△ABC的相似的是B，
故选：B．
二．填空题（共12小题）
7．如果两个相似三角形对应的高之比是2：3，那么它们对应的角平分线之比是 2：3 ．
【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵相似三角形对应高线的比是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们对应角平分线的比是2：3．
故答案为：2：3．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8cm，AE＝6cm，CE＝3cm，那么DB＝ 4 cm．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝8cm，AE＝6cm，CE＝3cm，
∴
，即
，
∴DB＝4（cm）．
9．如图AB∥CD，AD与BC相交于点E，如果AB＝2，CD＝4，BC＝5，那么BE＝ 
．
【分析】由AB∥CD可得出△ABE∽△DCE，再利用相似三角形的性质可求出BE的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴
＝
，即
＝
，
∴BE＝．
10．在△ABC中AD是中线，若G是△ABC的重心，则AG：AD的值是 
．
【分析】本题先判断点G为三角形的重心，然后根据三角形重心的性质来求比值，从而很简单地解得．
【解答】解：∵G是△ABC的重心，且AD是中线，
∴AG＝2GD，
∴AG：AD＝2：3．
故答案为
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AB，交BD于点G，交BC的延长线于点E，那么
＝ 
．
【分析】根据菱形的性质得：AD＝AB＝BC，由∠ABC＝60°得：AB＝AD＝BE，最后根据△ADG∽△EBG得到比例式求出AG与GE的比值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵AE⊥AB，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝BE，
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝
＝
．
故答案为：．
12．如果二次函数y＝（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝ ﹣2 ．
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m﹣2≠0．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣2）x2+x+（m2﹣4）上，
∴m2﹣4＝0，
解得m＝±2，
又二次项系数m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x＝ 1 ．
【分析】根据点A、B的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】解：∵点A（﹣1，0），B（3，0）纵坐标都是0，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝
＝1．
故答案为：1．
14．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围 k≥﹣
且k≠0 ．
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴
，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
15．已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为 y＝x2+2x﹣5 ．
【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣6，再把（2，3）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣6，
把（2，3）代入解析式得a＝1，
则抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣6，即y＝x2+2x﹣5．
故答案为：y＝x2+2x﹣5．
16．已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k＝ 3，﹣9，﹣3 ．
【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
【解答】解：当抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在x轴上时，△＝0，
即△＝（k+3）2﹣4×9＝0，解得k＝3或k＝﹣9；
当抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在y轴上时，x＝﹣
＝
＝0，解得k＝﹣3．
故答案为：3，﹣9，﹣3．
17．菱形ABCD边长为4，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC交点M，那么
的值是 
或
．
【分析】根据菱形的性质，可得对边平行，即可得到△AME∽△CMB，注意作图时需要分析点E在线段AD上还是在线段AD的延长线上．
【解答】解：①如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴
，
∵DE＝3，
∴AE＝AD﹣DE＝1，
∴
，
②如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴，
∵DE＝3，
∴AE＝AD+DE＝7，
∴
，
故答案为：
或
．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 
．
【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．
【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，
∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，
∴四边形C'DCA是矩形，
∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，
∵折叠
∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，
在Rt△BDC'中，BD＝
＝3
∴CD＝BC﹣BD＝2
∴AC'＝2，
在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，
∴CP2＝4+（4﹣CP）2，
∴CP＝
故答案为：
三．解答题（共7小题）
19．如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA：
（1）求点A坐标；
（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．
【分析】（1）根据B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，可以求得OA的长，从而可以得到点A的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C可以求得该抛物线的解析式，并求得该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，
∴OC＝4，
∴OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）设这条抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵点C（0，4）在此抛物线上，
∴4＝a（0+1）（0﹣3），
解得，a＝﹣
，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝
+4＝﹣
+
，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，），
即这条抛物线的解析式为y＝+4，它的顶点坐标是（1，）．
20．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵FE∥CD，
∴
＝
，即
＝
，
解得，AC＝
，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝
；
（2）∵DE∥BC，
∴
＝，即
＝，
解得，AB＝
．
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥CD．已知AD＝3，AB＝4，求S△BCD．
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠DBC，然后证明△ABD与△DCB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD的长，然后再利用三角形的面积公式进行求解．
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝
＝
＝5，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠BDC＝∠A＝90°，
∴△ABD∽△DCB，
∴
＝
，
即
＝
，
解得CD＝
，
∴S△BCD＝
×BD×CD＝×5×＝
．
（注：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解也可，参照给分）
22．在直角坐标平面内，点O在坐标原点，已知点A（3，1）、B（2，0）、C（4，﹣2）．
（1）求证：△AOB∽△OCB；
（2）求∠AOC的度数．
【分析】（1）分别求AB，OB，BC的长即可求得
＝
，即可判定；
（2）根据相似三角形对应角相等即可解题．
【解答】解：如图：
（1）∵A（3，1）、B（2，0）、C（4，﹣2）．
∴AB＝
，BC＝
，OB＝2，
＝，
∵∠ABx＝∠CBx＝45°，
∴∠ABO＝∠CBO＝135°，
∴△AOB∽△OCB．
（2）∵△AOB∽△OCB．
∴∠BOC＝∠A，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝∠AOB+∠A，
∴∠AOC＝45°．
23．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠B，
（1）求证：△ABD～△DCE；
（2）点F在AD上，且
＝
，求证：EF∥CD．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由三角形的外角性质可得∠EDC＝∠BAD，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得
，可得
，可证△AEF∽△ACD，可得∠AEF＝∠ACD，可证EF∥CD．
【解答】证明；（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，且∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，且∠B＝∠C，
∴△ABD～△DCE；
（2）∵△ABD～△DCE，
∴，且＝，
∴
∴，且∠EAF＝∠DAC，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AEF＝∠ACD，
∴EF∥CD．
24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）连结AM，求S△AOM；
（3）设点F是x轴上一点，如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的点F的坐标．
【分析】（1）过点A作AN⊥x轴于点N，∠AOB＝120°，则∠AON＝60°，ON＝
OA＝1，AN＝
，故点A（﹣1，﹣），即可求解；
（2）S△AOM＝
×OH（xM﹣xA）＝
×2＝
；
（3）分∠BMF为钝角、∠MBF为钝角两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠AOB＝120°，则∠AON＝60°，ON＝OA＝1，AN＝，
故点A（﹣1，﹣），
将点A、B（2，0）的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+
；
（2）如上图，连接AM交x轴于点H，
将点A、M（1，
）的坐标代入一次函数的表达式并解得：
直线AM的表达式为：y＝
x﹣，故OH＝，
S△AOM＝
×OH（xM﹣xA）＝
×2＝；
（3）由点的坐标知：OA＝2，OM＝，AM＝
，MB＝，
①当∠BMF为钝角时，
当△OAM∽△MBF时，则
，
即：
＝
，解得：BF＝
；
当△OAM∽△MFB时，
同理可得：BF＝
，
故点F的坐标为：（
，0）或（
，0）；
∵∠MBO＝30°，
当∠BMF＝150°时，∠BFM＝0°，三角形不存在了，故点F舍去；
②当∠MBF为钝角时，
同理可得：点F的坐标为：（4，0）或（
，0）；
综上，点F的坐标为：（4，0）或（，0）．
25．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．
（1）若
，求
的值；
（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）连接AG，若AD＝2，AB＝3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．
【分析】（1）延长CE和DA，相交于M，根据平行线分线段成比例进行计算可以求出
的值．（2）根据对应线段的比相等可以得到AG与DC的位置和数量关系．（3）根据两三角形相似，对应线段的比相等，求出线段BF的长．
【解答】解：（1）∵BF：FC＝1：3，∴设BF＝k，
则FC＝3k，BC＝4k，∵AD：BC＝1：2，∴AD＝2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴
，且
∵点E为边AB中点，
∴AM＝BC＝4k，
∴DM＝DA+AM＝2k+4k＝6k，
∴
．
（2）AG∥DC，且
．
证明：∵AD∥BC，
∴
，
∵
，
∴
，
∴AG∥DC．
∴
．
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD＝2，AD：BC＝1：2，
∴BC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD＝∠FDC或∠DAG＝∠FDC．
情况1，当∠AGD＝∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM＝4，
由
得
，
∴AG＝2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD＝∠FDC，
∴
，即
，
∴CF＝3
∴BF＝1．
情况2，当∠DAG＝∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则
，由AD∥BC得
，
设BF＝x，可得FT＝
，
∴
，
整理得：2x2﹣4x+11＝0，
∵△＝16﹣88＜0，
∴无实数根；
∴BF＝1．
获得更多试题及答案，欢迎联系微信公众号：ygjjcom
客服微信号：ygjjcom