25章概率初步单元测试
(满分：120分 考试时间：100分钟)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
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题号 |
1 |
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3 |
4 |
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6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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答案 |
B |
D |
A |
A |
D |
C |
A |
B |
A |
B |
1.下列事件中是必然事件的是(B)
A．投掷一枚硬币正面朝上 B．明天太阳从东方升起
C．五边形的内角和是560° D．购买一张彩票中奖
2．“水中捞月”事件发生的概率是(D)
A．1 B.2(1) C.4(1) D．0
3．2018年5月5日，中国邮政发行《马克思200周年诞辰》纪念邮票1套2枚，这套邮票图案名称分别为：马克思像、马克思与恩格斯像，其背面完全相同，发行当日，某集邮爱好者购买了此款纪念邮票3套，他将所购买的6枚纪念邮票背面朝上放在桌面上，并随机从中取出一张，则取出的邮票恰好是“马克思像”的概率为(A)
A.2(1) B.3(1)
C.4(1) D.6(1)
4．下列说法正确的是(A)
A．必然事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率为2(1)
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1 000次，正面朝上的次数一定是500次
5．口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率为0.2，摸出白球的概率为0.5，那么摸出黑球的概率为(D)
A．0.2 B．0.7 C．0.5 D．0.3
6．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是(C)
A．点数都是偶数 B．点数的和为奇数 C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
7．某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的概率是(A)
A.4(1) B.3(1) C.2(1) D.4(3)
8．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是(B)
A.8(1) B.6(1) C.4(1) D.2(1)
9．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是(A)
A.2(1) B.3(1) C.3(2) D.6(5)
10．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃．已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆．一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(B)
A.6(1) B.6(π) C.8(π) D.5(π)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11．“清明时节雨纷纷”是随机事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)
12．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是3(1)．
13．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有12个白球．
14．张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在8ZK之后，则选中的车牌号为8ZK86的概率是3(1)．
15．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是3(1)．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)一个袋中装有2个红球，3个白球和5个黄球，每个球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个球，分别求出摸到红球、白球、黄球的概率；
解：∵袋中装有2个红球，3个白球和5个黄球，共10个球，
∴摸到红球的概率为10(2)，即5(1)；摸到白球的概率为10(3)；摸到黄球的概率为10(5)，即2(1).
(2)随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样)，求这粒豆子落在黑色方格中的概率．
解：∵共有12个方格，其中黑色方格占4个，
∴这粒豆子落在黑色方格中的概率是12(4)＝3(1).
17．(本题6分)在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
(1)当n为何值时，这个事件必然发生？
(2)当n为何值时，这个事件不可能发生？
(3)当n为何值时，这个事件可能发生？
解：(1)当n＞6时，即n＝7或8或9时，这个事件必然发生．
(2)当n＜3时，即n＝1或2时，这个事件不可能发生．
(3)当3≤n≤6时，即n＝3或4或5或6时，这个事件可能发生．
18．(本题7分)如图是一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，指针位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个三角形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数(指针指向两个三角形的公共边时，当作指向右边的三角形)，这时称转动了转盘1次．
(1)下列说法不正确的是(B)
A．出现1的概率等于出现3的概率
B．转动转盘30次，6一定会出现5次
C．转动转盘3次，出现的3个数之和等于19，这是一个不可能发生的事件
(2)当转动转盘36次时，出现2这个数大约有多少次？
解：∵转动转盘1次时，出现2的概率为6(1)，
∴转动转盘36次，出现2这个数大约有36×6(1)＝6(次)．
19．(本题9分)端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海(记为A)、兴文石海(记为B)、夕佳山民居(记为C)、李庄古镇(记为D)的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
(1)小明选择去蜀南竹海旅游的概率为4(1)；
(2)用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．
解：画树状图如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中都选择兴文石海的方案有1种，
所以小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率为16(1).
20．(本题9分)某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10 000张奖券的抽奖结果如下：
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奖券种类 |
紫气东来 |
花开富贵 |
吉星高照 |
谢谢惠顾 |
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出现张数(张) |
500 |
1 000 |
2 000 |
6 500 |
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率；
(2)请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由．
解：(1)10 000(500)＝20(1).
(2)平均每张奖券获得的购物券金额为100×10 000(500)＋50×10 000(1 000)＋20×10 000(2 000)＋0×10 000(6 500)＝14(元)，
∵14＞10，∴选择抽奖更合算．
21．(本题9分)在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
解：(1)列表如下：
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乙 甲 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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3 |
9 |
10 |
11 |
12 |
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4 |
10 |
11 |
12 |
13 |
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5 |
11 |
12 |
13 |
14 |
由表可知，两数和共有12种等可能结果．
(2)由(1)可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴P(李燕获胜)＝12(6)＝2(1)，P(刘凯获胜)＝12(3)＝4(1).
22．(本题12分)在一个不透明的袋子中装有(除颜色外)完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
(1)从中先摸出一个小球，记录下它的颜色后，将它放回袋中搅匀，再摸出一个小球，记录下颜色．求摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
(2)如果摸出第一个小球之后不放回袋中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
(3)小明想给袋中加入一些红色的小球，使从袋中任意摸出一个小球恰为红色的概率为5(4)，请你帮小明算一算，应该加入多少个红色的小球？
解：(1)画树状图如下：
由树状图可得：共有16种等可能的结果，其中“一红一黄”的结果有4种．则P(一红一黄)＝16(4)＝4(1).
(2)画树状图如下：
由树状图可得：共有12种等可能的结果，其中“一红一黄”的结果有4种．则P(一红一黄)＝12(4)＝3(1).
(3)设应加入x个红色的小球，则
4＋x(1＋x)＝5(4)，解得x＝11.
故应加入11个红色的小球．
23．(本题13分)如今，旅游度假成了中国人庆祝传统春节的一项“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题：
春节假日接待海内外游客数量(山西省2014年～2018年) 春节假日实现旅游总收入(山西省2014年～2018年)
图1 图2 图3
(1)如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到1__365.45万人次，比2017年春节假日增加414.4万人次；
(2)2018年2月15日～20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：
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日期 |
2月15日 (除夕) |
2月16日 (初一) |
2月17日 (初二) |
2月18日 (初三) |
2月19日 (初四) |
2月20日 (初五) |
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日接待游客 数量(万人次) |
7.56 |
82.83 |
119.51 |
84.38 |
103.2 |
151.55 |
这组数据的中位数是93.79万人次；
(3)根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同比增长的百分率约为30%，理由是近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%；
(4)春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签(除图案外完全相同)．正面分别印有“剪纸艺术”“国粹京剧”“陶瓷艺术”“皮影戏”的图案(如图3)，他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．
解：画树状图如下：
则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6，
所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为2(1).
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