2017-2018-1月考1数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．方程
的根是（ ）．
A．
B．
C．
，
D．
，
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．如图，过反比例函数
的图象上一点
作
轴于点
，连接
，若
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．如图，在
中，点
、
分别在
、
边上，且
，若
，则
的值等于（ ）．
A．
B． C．
D．
5．把方程
化成
的形式，则
、
的值分别是（ ）．
A．，
B．
，
C．， D．，
6．如图，点、分别是的边、
上的点，且
，
、
相交于点
，若
，则
与
的比为（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．若
，则一次函数
与反比例函数
在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．如图，在宽
米、长
米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为
平方米，设道路的宽为
米，则可列方程（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．如图，在正方形
中，
是等边三角形，
、
的延长线分别交
于点、
，连接
、
，与
相交于点
．给出下列结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，四边形中，
，
，
，
，则对角线长的最大值为（ ）．
A． B．
C．
D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．如果反比例函数的图象过点
，那么该函数的图象在第__________象限．
12．在中华经典美文阅读中，小明发现一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为
，则它的宽为__________
（结果保留根号）．
13．若
，
是关于的一元二次方程
的两根，且等腰三角形三边长分别为、、，则的值为__________．
14．如图，
中，
，
，
，
，则的长为__________．
15．已知
、
是同一个反比例函数图象上的两点，若
，且
，则这个反比例函数的表达式为__________．
16．已知点是菱形边的中点，
，点
是对角线上一点，且
，则菱形面积的最大值是__________．
三、解答题（共8小题，计72分．解答应写出过程）
17．（本题满分
分，每小题分）
解方程：（）
．
（）
．
18．（本题满分分）
在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为
，
，
．
（）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形
，使与的相似比为
．
（）若每一个方格的面积为，则的面积为__________．
19．（本题满分
分）
如图，在中，点、分别是边、的中点，
，延长
到点，使得
，连接．
（）求证：四边形
是菱形．
（）若
，
，求菱形的面积．
20．（本题满分
分）
周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线
，通过在直线上选点观侧，发现当他位于
点时，他的视线从
点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于
点时，视线从
点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知
，点
在
上，、、
、
均垂直于，
，露台的宽
．实际测得
米，
米，
米．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？
21．（本题满分分）
端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小明家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为），豆沙粽子（记为），肉粽子（记为）．这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小明的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（）假设小明从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（）若小明先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小明取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
22．（本题满分分）
如图，一次函数
与反比例函数
的图象在第一象限交于、两点，点的坐标为
，点的纵坐标为，连接、
．
（）求一次函数和反比例函数的表达式．
（）求
的面积．
23．（本题满分分）
如图，四边形
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在
轴的正半轴上，
，
．
（）如图①，在上取一点，将纸片沿
翻折，使点落在边上的点处，求、两点的坐标．
（）如图②，若
上有一动点（不与，重合），从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向点匀速运动，设运动时间为
秒（
），过点作
交于点，连接
，求当为何值时，以点、、为顶点的三角形与
相似？
24．（本题满分
分）
问题提出：如果一个多边形的各个顶点均在另一个多边形的边上，则称这个多边形为另一多边形的内接多边形．
问题探究：
（）如图，正方形
的顶点、在等边三角形
的边上，顶点在边上．请在等边三角形内部，以为位似中心，作出正方形的位似正方形
且使正方形的面积最大（不写作法）．
（）如图，在边长为的正方形中，画出一个面积最大的内接正三角形，并求此最大内接正三角形的面积．
拓展应用：
（）如图，在边长为的正方形中，能否截下一个面积最大的直角三角形，并使其三边之比为
？若能，请求出此直角三角形的最大面积；若不能，请说明理由．
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