解三角形随堂测试
一、选择题
1．在
中，若
，且
，则为（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在
2．中，若
，
，
满足
，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．在中，
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．在中，
，
，
，则等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．在中，已知
，则角
为（ ）．
A．
B．
C．
D．或
6．在中，若
，
，
，则的最大角的度数为（ ）．
A． B．
C． D．
7．在中，已知
，则的值为（ ）．
A． B．
C． D．
8．若的内角、
、
所对的边、、满足
，且
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．在中，若的面积
，则
为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知三角形的两边长分别为和，它们的夹角的余弦值是方程
的根，则第三边的长是__________．
11．在中，
，
，又最大角的正弦等于
，则三角形的周长为__________．
12．在中，
，
，
．那么的长为__________．
13．在中，
，
，
，则边
上的高为__________．
14．在中，
，
，则三角形的形状为__________．
三、解答题
15．在中，已知
，且
，
．求的面积．
16．在中，
，
，
，求．
17．的内角、、的对边分别为、、，
．
（）求．
（
）若
，
，求，．
18．已知三角形的一个角为，面积为
，周长为
，求此三角形各边长．
训练与习题
1．选择题：
（）在中，下列等式总能成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（）在中，已知
，
，
，解这个三角形的结果应该是（ ）．
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不定
（）在中，若
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．与的大小关系不能确定
2．填空题：
（）在中，
，
，
，则
__________．
（）在中，已知
，
，
，则
__________．
（）三角形两边的长分别为，
，第三边上的中线长为，则外接圆半径为__________．
3．在中，
，
，
，求
，，
4．在中，
，外接圆半径
，，求
，
，．
5．在中，已知
，
，面积
，求，，．
6．根据下述条件，表示的面积：
（）已知：及、边上的高
，
．
（）已知：，，及外接圆半径
．
（）已知：，，及外接圆半径．
7．已知
是锐角的垂心，求证：
（是外接圆半径）．
8．（梅涅劳斯定理）直线
分别交的三边
，，或它们的延长线于
，
，
，则
．
第一讲
类型一、等分积周线
若一条直线即平分了某一几何图形的面积，又平分了它的周长，我们称这条线为此几何图形的“等分积周线”．
引例：（2017年陕西中考压轴题）
问题提出
（）如图①．是等边三角形，
，若点
是的内心，则
的长为__________．
问题探究
（）如图②，在矩形
中，，
，如果点
是
边上一点，且
，那么边上是否存在一点
，使得线段
将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由：
问题解决
提升：四边形，
，
，
，
，要修一条笔直的道路，使其既平分周长又平分面积，要求路的一个出口在
边上，问是否存在？若存在，求出路的另一个出口与点的距离．如不存在，说明理由．
类型二、面积最值
引例：（2012年陕西中考压轴题）
如图，正三角形
的边长为
．
（）如图①，正方形
的顶点
、
在边上，顶点
在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形
，且使正方形的面积最大（不要求写做法）．
（）求（）中作出的正方形的边长．
（）如图②，在正三角形中放入正方形
和正方形
，使得
、
在边上，点、分别在边
、
上求两个正方形面积的最大值及最小值，并说明理由．
正弦定理拓展课讲义
例．在中，
，
，求边的长．
例．在中，
，
，为边上的中线，且
．
求．
例．已知是的角平分线，，
，若
．
求
．
例．自的顶点引两条射线，交对标于、两点，且
．
求证：
．
提升：小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究；
问题情境：如图，四边形中，
，点为边的中点，连接
并延长交的延长线于点．求证：
．（
表示面积）【注意有文字】
问题迁移：如图，在已知锐角
内有一定点．过点任意作一条直线
，分别交射线、
于点
、．小明将直线绕着点旋转的过程中发现，
的面积存在最小值．请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由．
实际应用：如图，若在道路、之间有一村庄发生疫情，防疫部分计划以公路、和经过防疫站的一条直线为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区．若测得
，
，
，试求的面积．（结果精确到
）（参考数据：
，
，
）
拓展延伸：如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点、、、的坐标分别为
、
、
、
，过点的直线与四边形
一组对边相交，将四边形分成两个四边形，求其中以点为顶点的四边形的面积的最大值．
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