上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷
一、填空题
1．复数z满足i•z＝1．则Imz＝ ．
2．已知抛物线y＝4x2，则焦点的坐标为 ．
3．若z
（i为虚数单位，a＞0），|z3|＝5
，则a的值为 ．
4．直线
（参数t∈R）的倾斜角为 ．
5．若方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为 ．
6．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，且过点A（1，
），则双曲线的方程是 ．
7．点P为直线3x+4y+4＝0上的动点，点Q为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上的动点，则|PQ|的最小值为 ．
8．已知F1、F2是椭圆C：
1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
⊥
，若△PF1F2的面积为4，则b＝ ．
9．已知a，b∈R+，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则ab的最大值等于 ．
10．已知曲线Γ：
，（θ∈[0，
]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．则
•
的最大值是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y
（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2
，则满足条件的实数a的所有值为 ．
12．已知椭圆Γ：
1和圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设点A为椭圆Γ上的任一点，过A作圆O的两条切线，分别交椭圆Γ于B，C两点，若直线BC与圆O相切，则r＝ ．
二、选择题
13．设z为非零复数，则“z
∈R“是|z|＝1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
16．曲线Γ：（
1）
0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（
，
）
B．（﹣3，3）
C．（﹣3，）∪（，3）
D．（﹣3，）∪（，）∪（，3）
三、解答题
17．已知实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一根为﹣2i（i为虚数单位），另一根为复数z．
（1）求复数z，以及实数a，b的值；
（2）设复数z的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A、B、C，求（
）•
的值．
18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早
秒（注：信号每秒传播V0千米）．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：
（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离：
（3）若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？
19．已知椭圆Γ：
，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的右侧），与y轴交于点E．
（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；
（2）当m＝2时，设
，
，求证：λ+μ为定值，并求出该值；
20．设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），D（x0，y0）满足y02＞2px0，过点D作抛物线Γ的切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2．y2）．
（1）求证：直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切：
（2）若点A坐标为（4，4），点D在抛物线Γ的准线上，求点B的坐标：
（3）设点D在直线x+p＝0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆Ω：
1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．
（1）求双曲线Γ的标准方程；
（2）设直线1经过点E（3，0）与椭圆Ω交于A、B两点，求△OAB的面积的最大值；
（3）设直线1：y＝kx+m（其中k，m为整数）与椭圆Ω交于不同两点A、B，与双曲线Γ交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．
一、填空题
1．【详解详析】由i•z＝1，得z
，
∴Imz＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．【详解详析】抛物线y＝4x2的标准方程为x2
y，焦点在y轴的正半轴上，p
，
，
故焦点坐标为（0，
），
故答案为：（0，）．
3．【详解详析】z
2a﹣i，
由|z3|＝5
，得
，
即4a2+1＝5，得a＝1（a＞0）．
故答案为：1．
4．【详解详析】直线（参数t∈R）转换为直角坐标方程为：x﹣2y＝2﹣6，即x﹣2y+4＝0，
故直线的斜率为k
，
所以直线的倾斜角为
．
故答案为：
5．【详解详析】方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，
可得（k﹣1）•（5﹣2k）＜0，解得k＜1或k
．
故答案为：（﹣∞，1）∪（
，+∞）．
6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x2
k，把点（1，）代入方程解得 k
，
故所求的双曲线的方程是y2﹣9x2＝1，
故答案为：y2﹣9x2＝1．
7．【详解详析】由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C（1，2），半径R＝1，
圆心到直线的距离d
3，
在|PQ|的最小值为d﹣R＝2；
故答案为：2
8．【详解详析】∵F1、F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，
P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，
∴|PF1|+|PF2|＝2a，
|PF1|2+|PF2|2＝4c2，
|PF1|•|PF2|＝4，
∴（|PF1|+|PF2|）2＝4c2+2|PF1||PF2|＝4a2，
∴16＝4（a2﹣c2）＝4b2，
∴b＝2．
故答案为：2．
9．【详解详析】根据题意，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，
则有（a﹣1）+2b＝0，变形可得a+2b＝1，
则ab（a×2b）
（
）2
，当且仅当a＝2b时，等号成立；
即ab的最大值为
，
故答案为：．
10．【详解详析】曲线Γ：，（θ∈[0，]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．
2cosθ＝1⇒cosθ⇒θ
；
∴sin
；
即Q（1，
）；
∴
•
（2cosθ，sinθ）•（1，）＝2cosθ
sinθ
sin（θ+φ）；tanφ
；φ∈（0，
）；
∴θ+φ∈（φ，φ
）；
∴θ+φ
时，•
取最大值且最大值为
；
故答案为：
11．【详解详析】设点P
，则|PA|
，
令
，∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，
①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2
，解得a＝﹣1；
②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝
a2﹣2，∴a2﹣2，解得a
．
综上可知：a＝﹣1或
．
故答案为﹣1或．
12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），
BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：
1，得y
．
设B（r，
），则AB的方程为：
，
整理得：
．
由
，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，
则r
．
故答案为：
．
二、选择题
13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z
x+yi
x
y（1
）i∈R，∴y（1）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．
∴“z
∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．
故选：B．
14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），
且复数对应点的纵坐标大于或等于，
故有|z|≤1，Imz
，
故选：D．
15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）
代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0
∵A、B两点的横坐标之和等于2，
∴
，
∴方程无解，
∴这样的直线不存在．
故选：A．
16．【详解详析】曲线Γ：（1）0，可知x，y∈[﹣3，3]，
图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由
，解得y＝±，
曲线Γ：（
1）
0，
要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m∈（﹣3，）∪（，3）．
故选：C．
三、解答题
17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z＝2i；
利用根与系数的关系，得a＝﹣2i+2i＝0，b＝﹣2i•2i＝4；
（2）复数z＝2i，则λ2＝2i；
设λ＝x+yi，x、y∈R；
所以x2﹣y2+2xyi＝2i，
即
，解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1；
所以λ＝1+i，或λ＝﹣1﹣i；
当λ＝1+i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝1﹣i；
所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），
所以（）•
（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2；
当λ＝﹣1﹣i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i，
所以A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），
所以（）•（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2；
综上知，（）•的值为﹣2．
18．【详解详析】（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，
可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，
所以c＝30，2a＝40，所以a＝20，则b＝10，
所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：
1，x≤0．
（2）已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝﹣x（x＜0）上，
所以
，可得x＝﹣10
，y＝10，
观察员遇险地点坐标（﹣10，10），
观察员遇险地点与监测中心O的距离：
20．
（3）由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x2+（y﹣30）2＝r2，与1，x≤0．
联立，消去x可得：9y2﹣300y+6500﹣5r2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r2）≥0，解得r≥20
．
为保证有救援希望，扫描半径r至少是20公里．
19．【详解详析】（1）当m＝1且k＝1时，椭圆Γ方程为：
，直线l方程为：y＝x+1，
联立方程
，消去y得：3x2+4x＝0，
解得：x＝0或
，
∵M点在N点的右侧，
∴M（0，1），N（，
）；
（2）当m＝2时，椭圆Γ方程为：
，
联立方程
，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
∴
，
∵E（0，k），D（﹣1，0），
∴
，
又∵，，
∴x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1），
∴
，
∴λ+μ
，
故λ+μ为定值3．
20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），求导，2yy′＝2p，即
，
所以在A（x1，y1）点的切线的斜率
，
所以切线方程为
，由y12＝2px1，整理得yy1＝p（x+x1），
所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；
方法二：由题意可知，
，消去x，整理得y2﹣2y1y+2px1＝0，
则
，
所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；
（2）方法一：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，
由D在抛物线的准线上，所以直线AB过抛物线的焦点F（1，0），
所以x1x2
1，y1y2＝﹣1，所以x2
，y2＝﹣1，
所以B（
，﹣1）；
方法二：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，
由（1）可知，直线AD的方程4y＝2（x+4），即y（x+4），则D（﹣1，
），
直线BD的方程yy2＝p（x+x2），所以
，
解得
，所以B（，﹣1）；
（3）AB恒过定点（p，0），理由如下：
方法一：设D（﹣p，y0），由（1）可知直线AD的方程为，即
直线BD的方程
，
将D（﹣p，y0）代入切线方程
，
，
所以y1，y2是方程
的两根，所以y1+y2＝2y0，y1y2＝﹣2p2．
直线AB的斜率
，直线AB的方程x﹣x1
（y﹣y1），
即
，所以直线AB恒过定点（p，0）．
方法二：设D（﹣p，y0），
由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB的方程为yy0＝p（x﹣p），所以直线AB恒过定点（p，0）．
21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程
，
则a＝2，c＝4，则b2＝12，双曲线的方程
；
（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线l方程为x＝my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组
，消去x，得（3m2+4）y2+18my﹣21＝0，
y1+y2
，y1y2
，
所以S△OAB
|OE|×|y1﹣y2|3
3×4
6
，
令12m2+7＝t≥7，则
，
所以
，
当且仅当t＝9，即
时，取等号，
则S△OAB＝6
6
4
，
所以△OAB面积的最大值为
．
（3）存在这样的直线y＝kx+m，使得向量成立，且这样的直线有9条．
由
，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2
，△1＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣48）＞0，①
由
，消去y，整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0，
设C（x3，y4），D（x4，y4），
则x3+x4
，△2＝（﹣2km）2+4（3﹣k2）（m2+12）＞0，②
因为，
所以（y4﹣y2）+（y3﹣y1）＝0．
由x1+x2＝x3+x4得
．
所以2km＝0或
．
由上式解得k＝0或m＝0．当k＝0时，
由①和②得﹣2
m＜2．
因为m是整数，所以m的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．
当m＝0，由①和②得
k
．
因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．
于是满足条件的直线共有9条．
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