和差问题
夯实基础
1.南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米?
【答案】4500 6770
【解析】
解：铁路桥长为：(11270+2270)÷2＝6770米，
公路桥长为：(11270－2270)÷2＝4500米。
2.甲乙两数之差是14,两数之和是108,甲数是( ), 乙数是( )。
【答案】61，47
【解析】
解：根据大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，即可求出问题。
甲数为：（108+14）÷2＝61
乙数为：（108-14）÷2＝47[来源:学科网ZXXK]
3.小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？
【答案】小亚打了271个字，小巧打了215个字
【解析】
试题分析：由题意知两人打字的和与差，则根据大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，即可求出问题。
解：小亚打字个数为：
（486+56）÷2，
=542÷2，
=271（个）；
小巧打字个数为：
486﹣271=215（个），
答：小亚打了271个字，小巧打了215个字。
4.小记者到城北小学采访，收集到的资料是：该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人。请你提出两个数学问题，并解答。
【答案】该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？975人；
【解析】
试题分析：根据题意我们可以提出问题如下：
该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？
解：该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？
（1800+150）÷2
=1950÷2
=975（人）
答：男生有975人。
5.两个数的和为36，差为22，求大、小两数各是多少？
【答案】大数为29，小数为7
【解析】
解：（36＋22）÷2=29……大数
（36－22）÷2=7……小数
答：大数为29，小数为7。
6.两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
【答案】第一筐重79千克，第二筐重71千克
【解析】
试题分析：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）。
解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
7.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？
【答案】锡重300千克，铝重200千克
【解析】
解：锡的重量：
（500-100）÷2= 200（千克）
铝的重量：
500- 200= 300（千克）
答：锡重300千克，铝重200千克。
8.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵。桃树和梨树各有多少棵？
【答案】桃树有140棵，梨树有120棵
【解析】
解：方法一：
桃树：（260+20）÷2=140（棵） 梨树：140-20=120（棵）
方法二：
梨树：（260-20）÷2=120（棵） 桃树：120+20=140（棵）
答：桃树有140棵，梨树有120棵。
9.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米。每段各长多少米？
【答案】第一段长5米，第二段长7米
【解析】
解：第一段：（12-20）÷2=5 (米)
第二段：12-5=7 (米)
答：第一段长5米，第二段长7米。
10.期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？
【答案】王平96分，李杨92分
【解析】
解：根据题意画出线段图。
我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。
11.小阳期中考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分。语文是
多少分？数学是多少分？
【答案】92，100
【解析】
试题分析：要求语文和数学的成绩，由题意可得：语文和数学两门课程的总成绩为96×2=192分；根据“数学比语文多8分”可知：假设数学考的和语文成绩一样多，那么两门课程共考192﹣8=184分；即语文成绩的2倍是184分，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算得出语文的成绩；继而用语文的成绩加8得出数学的成绩。
解：（96×2﹣8）÷2，
=184÷2，
=92（分）；
92+8=100（分）；
答：语文是92分，数学是 100分；
故答案为：92，100。
12.商店共有足球、篮球、排球213个，足球比排球多26个，篮球比排球少38个，商店里三种球各有多少个？
【答案】排球75个，足球101个，篮球37个
【解析】
试题分析：因为足球比排球多26个，篮球比排球少38个，那么（213-26+38）是排球个数的3倍，因此排球个数为（213-26+38）÷3=75（个），进而求出足球、篮球的个数。
解：排球：
（213-26+38）÷3，
=225÷3，
=75（个）；
足球：75+26=101（个）；
篮球：75-38=37（个）。
答：排球75个，足球101个，篮球37个。
13.三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
【答案】49
【解析】
解：先将一、二小组视为整体，记为A组，则A组与第三组的人数之和为180人，A组比第三组多20人，则A组有(180+20)÷2＝100人，第三组有(180－20)÷2＝80人。
而A组为第一、二两个小组人数之和为100人，第一小组比第二小组少2人。
那么第一小组有(100－2)÷2＝49人。
14.南京长江大桥比美国纽约大桥长4570米,纽约大桥比我国武汉长江大桥长530米。已知三座桥长10640米,这些桥长分别是多少米？
【答案】6770；2200；1670
【解析】
解：
用一座桥的长度为标准,把三座桥的长度看成同样长.设三座桥的长度和南京长江大桥相等。如图可知:
南京长江大桥=(10640+4570×2+530)÷3=6770(米)
美国纽约大桥=6770-4570=2200(米)
武汉长江大桥=2200-530=1670(米)
15.某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【答案】第一名分得钱数是500元，第二名分得钱数是250元，第三名分得钱数是125元
【解析】
解：
第三名分得钱数的3倍是：
875－125－375=375元
第三名分得钱数是：
375÷3=125元
第二名分得钱数是：
125＋125=250元
第一名分得钱数是：
250＋250=500元
答：第一名分得钱数是500元，第二名分得钱数是250元，第三名分得钱数是125元。
拓展提高
1.甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？
【答案】甲每分钟打65个，乙每分钟打55个
【解析】
试题分析：
首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了240÷2=120（个）这样就转换成典型和差问题了。
解：
方法一：
甲：（240÷2+10）=65 (个) 乙：65-10=55 (个)
方法二：
乙：(240÷2-10)÷2=55 (个) 甲：55+10=65（个）
2.一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多（或少）几个人？
【答案】人多了，多了2人
【解析】
解：
先求出现在车上有多少人，再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几个人。
列式：现在车上人数：30-17+19＝32（人）
32-30＝2（人）
所以现在车上和原来比，人多了，多了2人
3. 小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多。小勇家养的白兔和黑兔各多少只？
【答案】白兔9只，黑兔13只
【解析】
试题分析：
解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只，或黑兔的只数比白兔多4只。只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成典型和差问题来解决了。
列式：白兔：（22-4）÷2＝9（只），黑兔：22-9=13（只）。
4. 有两箱苹果，甲箱重10千克，乙箱重8千克，从甲中拿多少千克放到乙箱中，两箱的苹果一样重？这样两箱都是多少千克？
【答案】1；9
【解析】
试题分析：两箱的苹果一样重，此时两箱都是（10+8）÷2=9（千克），那么从甲箱中拿10﹣9=1千克放到乙箱中，两箱的苹果一样重。
解：（10+8）÷2
=18÷2
=9（千克）
10﹣9=1（千克）
答：从甲箱中拿1千克放到乙箱中，两箱的苹果一样重，这样两箱都是9千克。
故答案为：1；9。
5.两个水池共蓄水40吨，甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等，两个水池原来各蓄水多少吨？
【答案】甲池原来蓄水14吨，乙池原来蓄水26吨
【解析】
试题分析：
根据“甲池注进4吨，乙池放出8吨，甲池与乙池水的吨数相等”可知：原来乙池比甲池多4+8=12吨，那么把总吨数40吨减去12吨后，就是甲池的2倍，由此即可求出甲池原来的蓄水吨数。[来源:学,科,网]
解：40－（4+8）
=40－12
=28（吨）
甲池原来蓄水：28÷2=14（吨）
乙池原来蓄水：40－14=26（吨）
答：甲池原来蓄水14吨，乙池原来蓄水26吨。
6.书架上下两层共放有
120本书，如果从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多。上下两层原来各有多少本书？（能否用两种不同的想法做呢）
【答案】上层原来有书75本，下层原来有书45本
【解析】
试题分析：
方法一：根据题意，上层比下层原来多15×2=30（本），也就是总数再加
上30本就是上层书的2倍，那么上层有书：（120+15×2）÷2，计算即可；
方法二，用方程解答，可设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，根据“从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多”，列方程解答。
解：方法一：
上层：（120+15×2）÷2，
=150÷2，
=75（本）；
下层：120-75=45（本）。
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
方法二：设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，得
x-15=120-x+15，
2x=150，
x=75（本）；
则120-x=120-75=45（本）。
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
7. 两根绳子共长48.4米，从第一根上剪去6.4米，从第二根上剪去7.4米，这时两根绳子一样长，求这两根绳子原来各长多少米？
【答案】第一根原来长23.7米，第二根原来长24.7米
【解析】
试题分析：
由题意，第二根比第一根长7.4-6.4=1（米），然后根据和差公式：（和-差）÷2=小数，求出第二根原来的长度，进而求出第一根的长度。
解：第一根长：[48.4－（7.4－6.4）]÷2
=[48.4－1]÷2
=47.4÷2
=23.7（米）
第二根长：48.4-23.7=24.7（米）。
答：第一根原来长23.7米，第二根原来长24.7米。
8. 学校买了4个足球和2个排球,共用去了162元.每个足球比每个排球贵3元,每个足球多少元？每个排球多少元？
【答案】28；25
【解析】
从图可以看出,如果从总钱数162元中减去4个3元,那么就可以得到相当于6个排球的总价,从而就能求出每个排球的单价,然后再求每个足球的单价。所以
每个排球=(162-3×4)÷(4+2)=150÷6=25(元)[来源:学科网ZXXK]
每个足球=25+3=28(元)
9.学校买来5个足球和10个篮球，共计700元。每只足球比每只篮球便宜10元。足球和篮球的单价各是多少元？
【答案】足球的单价是40元，篮球的单价是50元
【解析】
解：篮球：（700+10×5）÷（10+5）=750÷15=50（元）
足球：50-10=40（元）
10.今年小勇和妈妈两人的年龄和是38
岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁？
【答案】妈妈今年32岁，小勇今年6岁
【解析】
解：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。
11.把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？
【答案】长33厘米，宽21厘米
【解析】
解：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米，宽为54－33=21厘米。
12.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？[来源:Zxxk.Com]
【答案】小强15岁，爸爸43岁
【解析】
试题分析：
分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）。不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的。所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁。根据和差问题的解题思路就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2
=[58＋28]÷2
=86÷2
=43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
13.甲、乙两堆货物共180吨，甲堆货物运走30吨仍比乙堆货物多12吨，求甲乙两堆货物各多少吨？
【答案】甲有111吨，乙有69吨
【解析】
解：当甲运走30吨时，甲乙两堆的和为：180-30＝150（吨）
因为这时甲比乙多12吨，所以甲、乙分别为：
乙：（150-12）÷2＝69（吨）
甲：180-69＝111（吨）
故答案为：甲有111吨，乙有69吨。
巅峰突破
1.爷爷和爸爸在1994年的年龄和是127岁，十年前爷爷比爸爸大37岁，爷爷2014年多大？爸爸2016年呢？
【答案】102岁，67岁
【解析】
试题分析：根据题意，十年前爷爷比爸爸大37岁，他们的年龄差是个不变量，也就是1994年时，他们的年龄差还是37岁，再根据爷爷和爸爸在1994年的年龄是127岁，由和差公式可以求出1994年他们各自的年龄。
解：由和差公式可得：1994年爷爷的年龄是：（127+37）÷2=82（岁）
1994年爸爸的年龄是：（127－37）÷2=45（岁）
爷爷2014年时的年龄是：82+（2014－1994）=102（岁）
爸爸2016年时的年龄是：45+（2016-1994）=67（岁）
所以爷爷2014年102岁，爸爸2016年67岁。
2.一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋。外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元。一双鞋多少元？
【答案】10
【解析】
试题分析：把外衣和帽子的价钱看成一个整体，由题意可知外衣和帽
子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，这样就可以根据和差公式求出鞋的价钱是多少。
解：由题意
可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得，
鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元）
故答案：10。
3.甲、乙、丙三人，平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克，求乙的体重。
【答案】63千克
【解析】
试题分析：因为甲乙丙平均体重63千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，这说明：只要把多余的3千克给丙，那么丙就是63千克了，由此可以先算出甲和乙的平均体重；进而根据题意，依次求出丙、甲、乙的体重。
解：甲与乙的平均体重：（63×3+3）÷3=64（千克）
丙的体重：64-3=61（千克）
甲的体重：64+2÷2=65（千克）
乙的体重：64-2÷2=63（千克）
答：乙的体重是63千克。
4.一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？
【答案】父亲40岁；母亲36岁；儿子11岁
【解析】
解：已知：父+子=51（岁）
母+子=47（岁）
父+母+子=87（岁）
可以用下列方式来表达：
同样地，可以知道：
类似地，容易求出儿子的年龄为51－40=11（岁）。
5.今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共多少千克？四种菜共多少千克？
【答案】41，81
【解析】
试题分析：由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克，把它们加起来就是这四种菜的总千克数；求出总的千克数去掉花菜与白菜的千克数就可以求出包菜与菠菜的千克数。
解：由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克可知
四种菜共重：53+28=81（千克）
那么由花菜和白菜共40千克可求出，
包菜与菠菜共重：81﹣40=41（千克）
故答案为：41，81。
6.甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？
【答案】甲原来有429袋，乙原来有371袋
【解析】
解：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋。由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋。
7.姐姐和弟弟共有贺卡80张，如果姐姐给弟弟3张后，还比弟弟多4张。姐姐和弟弟原来各有多少张？
【答案】姐姐原来有45张，弟弟原来有35张
【解析】
试题分析：姐姐给弟弟3张，说明姐姐比弟弟多2个3张即3×2=6（张），又知姐姐给过弟弟后，还比弟弟多4张，可知姐姐原来一共比弟弟多6＋4=10（张），这也就是姐姐比弟弟贺卡的数量差，题中知道二人贺卡张数和，可以求出原来两人各多少张。
解：3×2=6（张）
6＋4=10（张）
姐姐：（80+10）÷2＝45（张）
弟弟：80-45＝35（张）
所以姐姐原来有45张，弟弟原来有35张。
8.甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
【答案】甲校原有学生488人，乙校原有学生376人
【解析】
试题分析：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）， 112是两校人数差。
解：①乙校原有的学生：
（864-32×2-48）÷2＝376（人）
②甲校原有学生：
864-376=488（人）
答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。
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