倒推与还原问题
“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
夯实基础
1. 填上合适的数。
（1）［（□－8）＋16］÷7×4=80
（2）（□×7÷14＋98－8）÷10=14
（3）95÷（2×□－3）=5
（4）25×66÷（3×□＋2）=150
（5）［（□＋8
）×8－8］÷8=81
【答案】132，100，11，3，74
【解析】
解：得用倒推法解决问题。
（1）80÷4×7-16+8＝132；
（2）（14×10+8-98）×14÷7＝100；
（3）（95÷5+3）÷2＝11；
（4）（25×66÷150-2）÷3＝3；
（5）（81×8+8）÷8-8＝74
2.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少?
【答案】1
【解析】
解：这个数除以6之前为6×6＝36，减去6之前为36+6＝42，乘以6之前为42÷6＝7，加上6之前为7－6＝1。
所以这个数为1。
3. 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
【答案】63
【解析】
解：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。最后是乘8得432，如果不乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋24=63。
因此，这个数是63。
4. 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
【答案】22
【解析】
试题分析：这个问题是由（□×4-46）÷3-10＝4，
求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。
解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。
答：这个数是22。
5. 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
【答案】169
【解析】
试题分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。
解：123-4＋50＝169。
答：正确的结果应是169。
6. 一个数加上25，再减去38后是20。这个数是多少？
【答案】33
【解析
】
试题分析：我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。
解：
要求的这个数最后是20，如果不减去38，就是20＋38＝58；如果不加上25，就是58－25＝33。算完后注意这样检验：33＋25－38＝20。
7. 一个数乘4，再除以3后是8。这个数是多少？
【答案】6
【解析】
试题分析：我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。[来源:学+科+网]
解：
要求的这个数最后是8，如果不除以3，就是8×3＝24；如果不乘4，就是24÷4＝6。算完后注意这样检验：6×4÷3＝8。
8. 小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小9倍，再加1岁后才10岁。小刚的奶奶今年多少岁？
【答案】88
【解析】
试题分析：我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法。
解：
从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小9倍之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁。
9. 老爷爷说：“把我的年龄加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁。”这位老爷爷现在有 岁．
【答案】88
【解析】
试题分析：可以根据题意的叙述，可以用逆推法，用100除以10，加上15，乘以4，减去12，即可求出答案。
解：由题意知，
（100÷10+15）×4﹣12，
=（10+15）×4﹣12，
=25×4﹣12，
=100﹣12，
=88（岁），
答：这位老爷爷现在有88岁。
故答案为：88。
10. 某数减去2，乘以9，再加上3，最后除以4，结果等于12。求这个数？
【答案】7
【解析】
试题分析：通过读题我们可以发现某数经过减去2，乘以9，加上3，除以4，这四步有序的运算的结果等于12，要想求出某数，我们只需要将其运算过程从结果开始逆向运算即可。
解：（12×4－3）÷9＋2
=（48－3）÷9＋2
=45÷9＋2
=5＋2
=7
答：这个数是7。
拓展提高
1.某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台。这个商场原来有洗衣机多少台？
【答案】40
【解析】
解：我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考。
结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台。
2.某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？[来源:Z§xx§k.Com]
【答案】
【解析】
解：从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。
综合算式是：[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
3.一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？
【答案】500毫升
【解析】
试题分析：由“第二次喝了剩下
果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升”，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么这瓶果汁原有（300-50）×2。
解：[(125+25)×2－50]×2
=[300－50]×2
=250×2
=500（毫升）
答：这瓶果汁原有500毫升。
4.小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？
【答案】100页
【解析】
试题分析：（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）。
解：根据题干分析可得：
[（10+10×2+10）]×2
=[40+10]×2
=50×2
=100（页）
答：这本书有
100页。
5.有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m。问这根电线原来有多少米？
【答案】38米
【解析】
试题分析：由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）。
解：（6×2+5）×2+4
=（
12+5×2）+4
=17×2+4
=34+4
=38（米）
答：这根电线原来有38米。
6.文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充。到第八次卖出一半后，恰好余下15个。文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？
【答案】30个
【解析】
试题分析：每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2。
解：15×2=3（个）
答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个。
7.妈妈买回来一些鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了第二天余下的一半又半个。这时还剩下1个鸡蛋，妈妈一共买回多少个鸡蛋？
【答案】15个
【解析】
试题分析：根据最后篮内的鸡蛋个数是1，那第三天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×（1+0.5），第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（1+0.5）+0.5]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出。
解：第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+0.5）=3（个），
第一天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+0.5）=7（个），
原有鸡蛋的个数是：2×（7+0.5）=2×7.5=15（个），
答：妈妈买回15个鸡蛋。
8.便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果。求水果店里原来一共有多少个芒果？
【答案】88个
【解析】
试题分析：第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）。
解：{[(11－1)×2+1]×2+2}×2
=[（10×2+1）×2+2]×2
=（21×2+2）×2
=44×2
=88（个）
答：水果店里原来一共有88个芒果。
9.美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？
【答案】380台
【解析】
试题分析：此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数。
解：[（105-20）×2+20]×2
=[85×2+20]×2
=190×2
=380（台）
答：美红商店原有380台洗衣机。
10.篮子里有一些苹果，妈妈拿他的一半又一个给了爷爷，再拿剩余的一半又二个给了爸爸，又取最后所余的一半又三个给了女儿，篮子里的苹果正好拿完。问篮子里原来有苹果多少个？
【答案】34个
【解析】
试题分析：最后的一半又3个给女儿，说明最后的一半就是3个，女儿得到6个苹果；由“再拿剩余的一半又二个给了爸爸”，则给爷爷后剩余：（3×2+2）×2=16（个）；那么总数为（16+1）×2=34（个）。
解：[（3×2+2）×2+1]×2
=[8×2+1]×2
=17×2
=34（个）
答：篮中原有苹果34个。
巅峰突破
1.同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？
【答案】甲班原有67袋，乙班原有73袋
【解析】
解：通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算：
|
|
甲 |
乙 |
|
这时 |
70 |
70 |
|
第2次 |
70－8 |
70＋8 |
|
第3次 |
70－8＋5 |
70＋8－5 |
最后甲、乙两班各有多少袋：140÷2=70（袋）
甲班原有多少袋70－8＋5=67（袋）
乙班原有多少袋70＋8－5=73（袋）
答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋。
2. 小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？
【答案】小勇15本，小强22本，小明23本
【解析】
解：不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。
3. 一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又去第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？
【答案】30个
【解析】
试题分析：最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果。
解：[(3×2+1)×2+1]×2
=[7×2+1]×2
=15×2
=30（个）
答：篮中原有苹果30个。
4. 一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，原来桶里有油多少千克？
【答案】52千克
【解析】
试题分析：由题意，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，则油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次没倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次没倒前油重（8-1.5）×2×2×2。
解：（8-1.5）×2×2×2
=6.5×2×2×2
=52（千克）
答：原来桶里有油52千克。
5.老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，全部鸡蛋都卖完了。老妇篮中原有鸡蛋多少个？
【答案】15
【解析】
解：第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+
）=1（个），
第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个），
第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个），
原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个），
答：篮中原有鸡蛋15个，
故答案为：15。
6. 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？
【答案】16，10，7
【解析】
解：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。由此列表逆推如下表：
|
|
老大 |
老二[来源:学科网ZXXK] |
老三 |
|
初始状态 |
14-（2÷2）＝13 |
8-（2÷2）＝7 |
2×2＝4 |
|
老三分过后 |
16-（4÷2）＝14 |
4×2＝8 |
4-（4÷2）＝2 |
|
老二分过后 |
8×2＝16 |
8-（8÷2）＝4 |
8-（8÷2）＝4 |
|
老大分过后 |
8 |
8 |
8 |
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。
7. 四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子。过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？
【答案】259个
【解析】
试题分析：如果没有多3个的话，分了四次，答案应是4×4×4×4=256个，现在多了3个，所以结果是256+3=259个。
解：4×4×4×4+3
=256+3
=259（个）
答：堆桃子至少有259个。
8. 把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等。原来三个袋里各有甜橙多少个？
【答案】原来三个袋里各有8个、19个、30个
【解析】
试题分析：第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×
=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙
数为60×
=30（个）。所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个。
解：57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个）
原来第一袋：15－7=8（个）
原来第二袋：15+4=19（个）
原来第三袋：15×2=30（个）
答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个。
9. 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？
【答案】甲、乙、丙桶原来分别有油26，14，8千克
【解析】
解：列表逆推如下：
|
|
甲桶 |
乙桶 |
丙桶 |
|
初始状态 |
4+14+8＝26 |
28÷2＝14 |
16÷2＝8 |
|
第一次变化 |
8÷2＝4 |
8+4+16＝28 |
32÷2＝16 |
|
第二次变化 |
16÷2＝8 |
16÷2＝8 |
16+8+8＝32 |
|
第三次变化 |
16 |
16 |
16 |
原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。
10. 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。”财迷算了算挺合算，就同意了。他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下。问：财迷身上原有多少个铜板？
【答案】31个
【解析】
试题分析：第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；
第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；
第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个；[来源:Z|xx|k.Com]
第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个；
第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个。
解：第五次后有：32÷2=16（个）
第四次后有：（32+16）÷2=24（个）
第三次后有：（32+24）÷2=28（个）
第二次后有：（32+28）÷2=30（个）
第一次原有：（32+30）÷2=31（个）
答：财迷身上原有31个铜板。
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