消去与置换问题
在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”,也叫“代换法”。
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量。解决置换总是应注意下面两点：1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法。2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。[来源:学科网ZXXK]
夯实基础
一、填空题。
1.
【答案】18个
【解析】
解：一个△＝6个□，一个○＝3个△，所以一个○＝3×6＝18个□。
2. 1头牛换3只羊，1只羊换3只猴。那么2只羊换（ ）只猴，1头牛换（ ）只猴。
【答案】9
【解析】
解：一头牛换一3只羊，一只羊换3只猴。那么2只羊换2×3＝6只猴，1头牛换3×3＝9只猴。
3. 1头牛的重量=4只羊的重量；1只羊的重量=8只公鸡的重量；2头牛的重量=（ ）只公鸡的重量。
【答案】64
【解析】
解：1头牛的重量＝4只羊的重量；1只羊的重量＝8只公鸡的重量；2头牛的重量＝2×4×8＝64只公鸡的重量。
4.
【答案】10
【解析】
解：1个黑球=5个白球，2个黑球=1个带阴影的球，所以一个阴影的球=2×5=10个白球。
5.1只松鼠的重量＋1只兔子的重量=5只鸭的重量 2只松鼠的重量=6只鸭的重量 1只兔子的重量=（ ）只鸭的重量？
【答案】2
【解析】
解：1只松鼠的重量＋1只兔子的
重量=5只鸭的重量①，2只松鼠的重量=6只鸭的重量②，②带入①中，得出1只兔子的重量=2只鸭的重量。
6.
【答案】1
【解析】
解：此题
用下面的多的式子减去上面少的式子，会留下两只鸡=12，所以一只鸡=6，将所有鸡换成1，带入上面的式子，即可得出另外一个是1。
二、解答题。
1. 从下图中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？
【答案】8个
【解析】
解：根据（1）、（2），可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量；然后把（3）中的一个梨替换成2支香蕉，这样，（3）中就相当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量，又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉的重量，因此，2个桃子实际上是1支香蕉的重量，可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。
2. 1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1头象的重量等于几头小猪
的重量？
【答案】48
【解析】
解：1匹小马刚好是4头小猪的重量，那么3匹小马等于12头小猪的重量，又1头牛相当于3匹小马的重量，也就是12头小猪的重量，因此4头牛等于48头小猪的重量，也就是1头象的重量等于48头小猪的重量。
3. 买甲种布8米，乙种布18米，共用去378元。已知1米甲种布和3米乙种布的价钱相等。求甲乙两种布的单价各是多少元？
【答案】甲单价27元，乙单价9元
【解析】
试题分析：根据题意可以得到下列关系式：
8米甲种布＋18米乙种布＝378元
1米甲种布＝3米乙种布
由“1米甲种布和3米乙种布的价钱相等”，可知乙种布的价格甲种布的价格的关系，因此就可以得出甲种布的单价。
解：将甲种布置换成乙种布，一共是：8×3+18＝42（米）
所以乙种布单价是：378÷42＝9（元）
甲种布单价是：9×3＝27（元）
4. 小明和小红去文具店买回了一些铅笔和橡皮，同学们问两样文具的单价，小明说：具体价钱我忘记了，反正我买了3支铅笔和1块橡皮，共花了2.30元，小红买了4支铅笔和1块橡皮，共花了2.80元。你能算出铅笔和橡皮的单价各是多少吗？
【答案】铅笔单价0.5元，橡皮单价0.8元
【解析】
解：根据题意可以得到下列关系式：
3支铅笔+1块橡皮＝2.3元
4支铅笔+1块橡皮＝2.8元
两个式子进行对比可消去橡皮，一支铅笔＝2.8-2.3＝0.5（元）
一块橡皮＝2.8-0.5×4＝0.8（元）
所以铅笔的单价是0.5元，橡皮的单价是0.8元。
5.有大米20袋、面粉12袋，共2300千克，2袋大米的量与8袋面粉的量相等。大米和面粉每袋各多少千克？
【答案】大米每袋100千克，面粉每袋25千克
【解析】
解：因为2袋大米的量与8袋面粉的量相等，所以1袋大米的量与4袋面粉的量相等；据此关系，将大米的袋数置换成面粉。据此进行计算。
20×4+12＝92（袋）
2300÷92＝25（千克）
25×4＝100（千克）
所以面粉每袋25千克，大米每袋100千克。
6.一个杯子向空瓶里倒水，如果倒进了3杯水，连瓶共重440克，如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想，一杯水和一个空瓶各重多少克？
【答案】一杯水重80克，一个空瓶重
200克
【解析】
解：根据题意可得如下关系：
1个空瓶+3杯水＝440克
1个空瓶+5杯水＝600克
所以两杯水重：600-440＝160（克）
一杯水重：160÷2＝80（克）
一个空瓶重：600-80×5＝200（克）
7.小明买4个练习本与1枝铅笔共用去28角钱，已知一枝铅笔比一个练习本贵3角钱。请问练习本与铅笔的单价各是多少？
【答案】练习本单价5角，铅笔单价8角
【解析】
解：根据题意可知，4个练习本+1枝铅笔＝28角钱，一枝铅笔比一个练习本贵3角钱。
所以可以将铅笔置换成练习本，那么每枝铅笔要减少3角钱。这样4个练习本+1枝练习本＝28-3＝25（角）。
一个练习本单价：25÷5＝5（角）
一枝铅笔单价：5+3＝8（角）
8. 聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元。帅气铮问：“你买的梨和
荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元。”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？
【答案】梨单价2元，荔枝单价10元
【解析】
解：1千克梨单价：（62-58）÷（6-4）＝2（元）
1千克荔枝单价：（62-6×2）÷5＝10（元）
拓展提高
1.学校第一次买了4个热水瓶和20个茶杯，共用去172元；第二次又买了同样的4个热水瓶和16个茶杯，共用去152元。热水瓶和茶杯的单价各是多少元？
【答案】热水瓶单价18元，茶杯单价5元
【解析】
解：因为4个热水瓶+20个茶杯＝172元
4个热水瓶+16个茶杯＝152元
所以4个茶杯＝172-152＝20元
故茶杯的单价为：20÷4＝5（元）
热水瓶的单价为：（172-20×5）÷4＝18（元）
故答案为：热水瓶的单价为18元，茶杯的单价为5元。
2.王强的妈妈去水果店买水果。原计划用49元钱买4斤梨和5斤苹果，结果她只买了4斤梨和3斤苹果，付给售货员39元钱。求苹果和梨的单价各是多少元？
【答案】苹果单价5元，梨单价6元
【解析】
解：根据题意我们可以得到下列关系式：
4斤梨＋5斤苹果＝49元
4斤梨＋3斤苹果＝39元
比较两式会发现，如果将两各等式的左右两端分别相减，通过计算就得到苹果的单价。再将苹果的价钱带入第一个式子或其二个式子，就可以算出梨的单价。
苹果单价为：（49-39）÷（5-3）＝5（元）
梨单价：（39-3×5）÷4＝6（元）
故答案为：苹果单价为5元，梨单价为6元。
3.学校买来8张桌子和10把椅子，一共用去900元，买2张桌子的钱可买5把椅子，每张桌子多少元？
【答案】75
【解析】
解：因为买2张桌子的钱可买5把椅子，那么4张桌子的钱可买10把椅子；
又因为8张桌子+10把椅子＝900元，将10把椅子置换成4张桌子，得：
8张桌子+4张桌子＝900元
所以每张桌子：900÷12＝75（元）
故答案为：75元
4.王华买4件相同的上衣和9条相同的裤子共用去1200元，已知2件上衣相当于3条裤子的价格。求上衣和裤子的单价。
【答案】上衣单价120元，裤子单价80元
【解析】
解：4件上衣+9条裤子＝1200元
2件上衣＝3条裤子
4件上衣＝6条裤子
6条裤子+9条裤子＝1200元
所以一条裤子的单价为：1200÷15＝80（元）
一件上衣的单价为：80×3÷2＝120（元）
故答案为：上衣单价120元，裤子单价80元。
5.李阿姨买了3盒巧克力和5千克果冻，一共花了195元；沈叔叔买了同样多的3盒巧克力和3千克果冻，一共花了159元。问每盒巧克力和每千克果冻各多少钱？
【答案】每盒巧克力35元，每千克果冻18元
【解析】
解：3盒巧克力+5千克果冻＝195元
3盒巧克力+3千克果冻＝159元
通过对比可得，2千克果冻＝195-159＝36元
所以每千克果冻：36÷2＝18（元）
每盒巧克力：（195-18×5）÷3＝35（元）
故答案为：每盒巧克力35元，每千克果冻18元。
6.学校第一次买了5个篮球与4个足球共花150元，第二次买了4个篮球与8个足球共花240元。每个篮球与每个足球各是多少元？
【答案】每个篮球10元，每个足球25元
【解析】
解：5个篮球+4个足球＝150元
4个篮球+8个足球＝240元
2个篮球+4个足球＝120元
3个篮球＝150-120＝30元
1个篮球＝30÷3＝10元
1个足球＝（150-10×5）÷4＝25（元）
故答案为：每个篮球10元，每个足球25元。
7.1包味精和1包糖共重600克，7包味精和4包糖共重2700克。每包味精和每包糖各重多少克？
【答案】每包味精100克，每包糖500克
【解析】
解：1包味精+1包糖＝600克
7包味精+4包糖＝2700克
4包味精+4包糖＝4×600＝2400克
3包味精＝2700-2400＝300克
每包味精：300÷3＝100（克）
每包糖：600-100＝500（克）
故答案为：每包味精100克，每包糖500克。
8.3筐苹果和5筐梨共重138千克，同样的9筐苹果和4筐梨共重216千克，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？
【答案】每筐苹果16千克，每筐梨18千克
【解析】
解：3筐苹果+5筐梨＝138千克
9筐苹果+4筐梨＝216千克
9筐苹果+15筐梨＝138×3＝414千克
11筐梨＝414-216＝198千克
每筐梨：198÷11＝18千
克
每筐苹果：（138-18×5）÷3＝16千克
故答案为：每筐苹果16千克，每筐梨18千克。
9.3头牛和4只羊一天共吃草77千克,6头牛和5只羊一天共吃草130千克。每头牛,每只羊每天各吃草多少千克?
【答案】每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克
【解析】
解：3头牛+4只羊＝77千克
6头牛+5只羊＝130千克
6头牛+8只羊＝77×2＝154千克
由以上可得：3只羊＝154-130＝24千克
所以每只羊每天吃草：24÷3＝8千克
每头牛每天吃草：（77-4×8）÷3＝15千克
故答案为：每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克。
10.上星期小明的爸爸买了5个面包和2根香肠花了17.5元；这个星期小明的妈妈买8个面包和4根香肠花了32元，面包、香肠的单价各是多少？[来源:学科网]
【答案】面包单价1.5元，香肠单价5元
【解析】
解：5个面包+2根香肠＝17.5元
8个面包+4根香肠＝32元
4个面包+2根香肠＝32÷2＝16元
1个面包：17.5-16＝1.5元
1根香肠：（32-1.5×8）÷4＝5元
故答案为：面包单价1.5元，香肠单价5元。
巅峰突破
1.甲、乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时，两人共做196个；甲做6小时，乙做4小时，则共做204个，甲、乙1小时共做多少个？两人每小时各做多少个？
【答案】甲、乙1小时共做40个；甲每小时22个，乙每小时18个
【解析】
解：甲4小时+乙6小时＝196个
甲6小时+乙4小时＝204个
将以上两个条件合并，得：甲10小时+乙10小时＝400个，
所以甲1小时+乙1小时＝400÷10＝40个
由此可得：甲4小时+乙4小时＝40×4＝160个
乙2小时＝196-160＝36个
乙每小时＝36÷2＝18个
甲每小时＝40-18＝22个
故答案为：甲、乙1小时共做40个；甲每小时22个，乙每小时18个。
2.小亮家养了40只鸡、50只鸭子，每天需要喂饲料15千克；小红家养了100只鸡、30只鸭子，每天需要喂饲料28千克，一只鸡、一只鸭子每天需要饲料各多少千克？
【答案】每只鸡每天吃0.25千克，每只鸭子每天吃0.1千克
【解析】
解：40只鸡+50只鸭子＝15千克
100只鸡+30只鸭子＝28千克
分别将以上条件变形得：
120只鸡+150只鸭子＝45千克
500只鸡+150只鸭子＝140千克
由此得：500-120＝380只鸡
140-45＝95千克
380只鸡每天吃95千克饲料
每只鸡每天吃：95÷380＝0.25（千克）
每只鸭子每天吃：（15-0.25×40）÷50＝0.1（千克）
故答案为：每只鸡每天吃0.25千克饲料，每只鸭子每天吃0.1千克饲料。
3.3包科技书和5包故事书共420本，学校买来4包科技书和10包故事书共760本。每包科技书多少本？每包故事书多少本？
【答案】每包科技书40本，每包故事书60本
【解析】
解：3包科技书+5包故事书＝420本
4包科技书+10包故事书＝760本
将第一个式子变形得：6包科技书+10包故事书＝840本
用第三个式子与第二个式子相减得：2包科技书＝840-760＝80本
所以一包科技书：80÷2＝40本
一包故事书：（420-3×40）÷5＝60本
故答案为：每包科技书40本，每包故事书60本。
4.5辆自行车和2辆电动车总价5500元，2辆自行车和5辆电动车总价10600元，自行车和电动车的单价各是多少元？
【答案】自行车300元，电动车2000元
【解析】
解：5辆自行车+2辆电动车＝5500元
2辆自行车+5辆电动车＝10600元
将以上两个条件合并得：7辆自行车+7辆电动车＝16100
1辆自行车+1辆电动车＝16100÷7＝2300元
2辆自行车+2辆电动车＝2300×2＝4600元
3辆自行车＝5500-4600＝900元
自行车的单价：900÷3＝300元
电动车的单价：2300-300＝2000元
故答案为：自行车300元，电动车2000元。
5.3包味精和6包糖共重3300克，7包糖比3包味精重3200克。每包味精和每包糖各多少克？
【答案】每包味精100克，每包糖500克
【解析】
解：根据题意得出如下式子：
3包味精+6包糖＝3300克
7包糖-3包味精＝3200克
由第二个式子可得，3包味精加上3200克就等于7包糖的重量。据此求解。
7包糖+6包糖＝3300+3200＝6500克
13包糖＝6500克
1包糖＝6500÷13＝500克
1包味精＝（3300-6×500）÷3＝100克
故答案为：每包味精100克，每包糖500克。
[来源:Zxxk.Com]
6.大家去文风公园游玩，3个大人和8个小孩共需门票93元，5个大人和15个小孩共需门票165元。问一个大人和一个小孩的门票各需多少元？
【答案】一个大人的门票为15元，一个小孩的门票为6元
【解析】
解：3个大人+8个小孩＝93元 （1）
5个大人+15个小孩＝165元 （2）
用
（1）×5得：15个大人+40个小孩＝465元 （3）
用（2）×3得：15个大人+45个小孩＝495元 （4）
用（4）-（3）消去15个大人，得：5个小孩＝495-465＝30元
所以一个小孩的门票为：30÷5＝6元
一个大人的门票为：（93-6×8）÷3＝15元
故答案为：一个大人的门票为15元，一个小孩的门票为6元。
7.妈妈在商店买了2条床单和3条毛巾共用了195元；王阿姨买了同样的1条床单和4条毛巾共用了135元。问每条床单和每条毛巾各多少元？
【答案】每条毛巾15元，每条床单75元
【解析】
解：2条床单+3条毛巾＝195元 （1）
1条床单+4条毛巾＝135元 （2）
用（2）×2得：2条床单+8条毛巾＝270元 （3）
用（3）-（1）得：5条毛巾＝270-195＝75元
所以一条毛巾：75÷5＝15元
一条床单：135-15×4＝75元
故答案为：每条毛巾15元，每条床单75元。
8.工地上有两堆水泥，共重100吨，甲堆的
和乙堆的
共重60吨，甲、乙两堆各重多少吨？
【答案】甲堆40吨，乙堆60吨
【解析】
解：甲堆+乙堆＝100吨 （1）
甲堆+乙堆＝60吨 （2）
用（1）除以4得：甲堆+乙堆＝25吨 （3）
用（2）-（3）得：乙堆-乙堆＝35吨[来源:学科网]
乙堆
＝35吨
乙堆＝60吨
甲堆＝100-60＝40吨。
故答案为：甲堆40吨，乙堆60吨。
9.学校食堂运进大米和面粉共750千克，当用去大米的
和面粉的
时，还剩下420千克，运来面粉多少千克？
【答案】300
【解析】
解：根据题意得出如下关系：[来源:学+科+网Z+X+X+K]
大米+面粉＝750千克 （1）
大米的+面粉的＝750-420＝330千克 （2）
用（1）乘以得：
大米的+面粉的＝750×＝250千克 （3）
用（2）-（3）得：
面粉的-面粉的＝330-250＝80千克
面粉的
＝80千克
面粉＝80÷＝300千克
故答案为：运来面粉300千克。
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