因动点产生的代数最值问题
1.如图，抛物线
的图象与
轴交于
两点（点
在点
的左边），与
轴交于点
，点
为抛物线的顶点．
（1）直接写出
三点的坐标；
（2）点
为线段
上一点（点不与点重合），过点作轴的垂线，与直线
交于点
，与抛物线交于点
，过点作
交抛物线于点
，过点作
轴于点
，若点在点左边，当矩形
的周长最大时，求
的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接
，过抛物线上一点
作轴的平行线，与直线交于点
（点在点的上方）．若
，求点的坐标．
解析：（1）
（2）
∴抛物线的对称轴为直线
设
，其中
关于直线对称，∴设的横坐标为
则
∴周长
∴当
时，
取最大值
此时
设直线的解析式为
则
解得
∴直线的解析式为
将代入得
（3）由（2）知，当矩形的周长最大时，
此时点
，与点重合，
过作
轴于
，则
是等腰直角三角形，
设
，则
，解得
当
时，
当
时，
或
2.如图1，抛物线
平移后过点
和原点，顶点为，对称轴与轴相交于点，与原抛物线相交于点．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积
；
（2）如图2，直线与轴相交于点，点为线段
上一动点，
为直角，边
与
相交于点，设
，试探究：
①
为何值时
为等腰三角形；
②为何值时线段
的长度最小，最小长度是多少．
解析：（1）∵平移后的抛物线过原点
∴设平移后抛物线的解析式为
把代入，得
解得
∴平移后抛物线的解析式为
提示：
过作
轴于
∵平移后的抛物线过点和原点
∴平移后的抛物线的对称轴为直线
把代入，得
（2）①
∴当
时为等腰三角形
，
是的中点，
，
，解得
∴当时为等腰三角形
②
连接
，作
于
则
，即
在
中，
当且仅当与重合，即
时线段的长度最小，最小长度是
此时
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