相似和全等中的动点问题
1.如图，等边三角形
的边长为6，点
，
分别在
，
边上，
，连结
，
相交于点
．
(1)求证:
，并求
的度数；
(2)若
，求
的值；
(3)当点从点
运动到点
时，求点经过的路径长．
解析:
(1)∵
是等边三角形，∴
，
又，∴
∴，
∴
∴
(2)∵
，∴
又
，∴
∴
，∴
(3)
∵
，∴点的运动路径是一段圆弧，该圆弧所对的圆心角为
设圆心为
，连接
、
，作
于
则
，
∴
∴当点E从点A运动到点C时，点P经过的路径长为:
2.已知矩形
的一条边
，将矩形折叠，使顶点
落在
边上的点处．
(1)如图1，已知折痕与边交于点，连结
、
、．
①求证:
；
②若
与
的面积比为
，求边
的长；
(2)若图1中的点恰好是边的中点，求
的度数；
(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕、线段，连结
．动点
在线段上(点与点、不重合)，动点
在线段的延长线上，且
，连结
交
于点，作
于点．试问当点、在移动过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
解析:
(1)①∵四边形是矩形，∴
∴
∵
是由
沿
折叠，∴
∴
∴
，∴
②∵，与
的面积比为
∴
，∴
∵，∴
设
即
，则
在
中，
∴
，∴
即边的长为
(2)∵折叠后
与重合，∴
，
∵
，∴
∵是的中点，∴
∵
，∴
又，
∴
(3)线段的长度不变
作
交于点
∵，∴
∴
，
∴
，∴
∵
，∴
∵
，∴
∴
∵
，∴
由(1)得:
，，∴
∴
，∴
，∴
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