4.因动点产生的将军饮马问题
1.如图，一次函数
的图象
与二次函数
的图象
都经过点
和点
，且图象过点
．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使
成立的
取值
的所有整数和为
，若是关于的方程
的根，求
的值；
（3）若点
在图象上，长度为
的线段
在线段
上移动，
与
都始终平行于
轴．当四边形
的面积最大时，在轴上求一点
，使
最
小，求出点的坐标．
解析：（1）把
代入
解得
∴二次函数的解析式为
∴二次函数的最大值为
（2）
由
与联立，求得
使成立的取值范围是
所有整数和
，代入方程
得
，解得
（3）
作
于
设
其中
[来源:Z*xx*k.Com]
则
，
在
中，
即
，
由题意，四边形为梯形，要使面积最大，则
最大
而
∴当
时，四边形的面积最大
作点
关于轴的对称点
，连接
交轴于点，则点为所求
，易求直线的解析式为
令
，解得
2.已知：直线
，抛物线
的对称轴是轴，且经过点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点是抛物线上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为
．求证：
．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
①如图②，过原点作任意直线
，交抛物线于点
．分别过两点作直线的垂线，垂足分别为
，连接
求证：
；
②如图③，点
，试探究在抛物线上是否存在点
，使得
取得最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵抛物线的对称轴是轴
，把代入，得：
解得
∴抛物线的解析式为
（2）设
，则
（3）
由（2）知，
②
作
，则
当
三点在同一条直线上时，取得最小值
把
代入
，得
∴满足条件的点的坐标为
3.已知平面直角坐标系中两定点
，抛物线
过点，顶点为，点
为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；
（2）当
为钝角时，求
的取值范围；
（3）若
，当为直角时，将该抛物线向左或向右平移
个单位，点
平移后对应的点分别记为
是否存在
，使得首尾依次连接
所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵抛物线
过点
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点的坐标为
（2）若点在轴上方，显然
或
为钝角，则必为锐角，不合题意[来源:学科网ZXXK]
若点在轴下方，当点与抛物线和轴交点
时
，
由抛物线的对称性可知，点关于抛物线对称轴的对称点
也满足
以为直径作圆，则
均在圆上，抛物线上点
到及
到
之间的部分在圆内
当点在这两个
范围内运动时，满足为钝角
或
（3）
，为直角
∴由（2）知点坐标为
由平移的性质知
与
均为定值，
要使所构成的
多边形的周长最短，只
最短
过点作
且
连接
则四边形
为平行四边形
连接
作点关于直线
的对称点
，连接
则
当
落在线段
上时，最短
∴抛物线应该向左平移
，
，
设直线的解析式为
解得
，把
代入
解得
，抛物线应该向左平移
个单位
4.如图，在平面直角坐标系中，
过原点
，与轴交于
，与轴交于
，点为劣弧
的中点，连接
并延长到，使
，连接
．
（1
）求的半径；
（2）证明：为的切线；
（3）在直线
上找一点，使
最大，求出这个最大值及此时点坐标．
解析：（1）
为的直径
的半径为
（2）[来源:Zxxk.Com]
过作
轴于，交直线于
∵点为劣弧的中点，
垂直平分
，
由
，得
又
为的切线
（3）
点在直线上，
两点关于直线对称
当
三点在同一直线上时，最大，即等于线段
的长
由（2）知，
[来源:学。科。网]
即的最大值为
设直线的解析式为
，把点坐标代入，得：
，
，
当
时，
∴此时点坐标为
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