华中师大一附中光谷分校
2018-2019学年度第一学期九年级月考试卷
时间:9月27日 学科:数学 命题人:九年级数学组
试卷满分:120分 考试时间:120分钟
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.式子
在实数范围内有意义,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2.下列电视台图标中,属于中心对称图形的是
A B C D
3.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同。若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为
,则黄球的个数为
A.2 B.4 C.12 D.16
4.已知关于的一元二次方程
叩有两个不相等的实数根
，若
则
的值
A.2或-1 B.2 C.-1 D.无解
5.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率都为,则满足的方程是
A.
B.
C.
D.
6.函数
与
的图象可能是
A B C D
7.若函数
的图像与轴只存在一个交点,那么的值为
A.0 B.0或2 C.2或2 D.0或2或-2
8.二次函数
的图像先向左平移4个单位,再向下平移2个单位长度后的抛物线解析式为
A.
B.
C.
D.
9.若
，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
10.如图所示为二次函数
图象一部分,则以下正确的有:
①
；②
的两根分别为-3和1；③
；④
；⑤
其中正确的有
A.①2 B.②③ C.②③④ D.②③④⑤
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
ll.在平面直角坐标系中,将直线
绕(0,1)逆时针旋转90度后刚好经过点(-1,2),则不等式
的解集为___________.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长是_________.
13.关于的方程
总有实数根,则的取值范围为__________.
14.已知抛物线
与轴交于点A、B,与
轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是________.
15.某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率为___________.
16.在平面直角坐标系中，两点P
、Q
，其中
则称Q点是P点的可控点。若P满足
其中
时,可控点Q满足
,则
的取值范围是____________.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(本题8分)解方程:
(1)
(2)
18.(本题8分)周口体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
19.(本题8分)在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O顺时旋转90°后的△A1B2C2,并求出点A旋转到A2所经过的路线长.
20.(本题8分)已知关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根。
(1)求的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为,且满足
,求的值。
21.(本题8分)已知关于的方程
有两个不相等的实数根.
(1)求
的取值范围；
(2)试说明
；
(3)若抛物线
与轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB,且
，求的值。
22.(本题10分)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件；如
果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件；如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件。设每件商品的售价为元,每个月的销售量为件。
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(2)设每月的销售利润为
元,请直接写出与的函数关系式
(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
23.(本题10分)如图1,△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A逆时针旋转
角,得到△ADE,DE交BC边于G,BD的延长线交EC的延长线于F,连AG.
(1)求证:△BCF≌△EDF；
(2)若DF=2BD,求
的值；
(3)如图2,若AB=
,∠BAC=120°,=30°,直接写出CG的长为____________.
24.(本题12分)如图,抛物线
交轴正半轴于A、B两点,交轴正半轴于C,且OB=0C=3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1,D位抛物线的顶点,P为对称轴左侧抛物线上一点,连OP交直线BC于G,连GD.是否存在点P,使
?若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)如图2,将抛物线向上平移个单位,交BC于点M、N.若∠MON=45°,求的值。
图1 图2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解答】解：∵式子
在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，
解得：x＝2．
故选：C．
2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
3．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
，则黄球的个数为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．16
【分析】根据白球的个数和摸到白球的概率，利用概率公式求得黄球的个数即可．
【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：
＝
，
解得：x＝16，
故选：D．
4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+
＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若
+
＝4m，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝
，x1x2＝
，结合
+
＝4m，即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+
＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴
，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝
，x1x2＝
，
∵
+＝4m，
∴
＝4m，
∴m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
5．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81
C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81
【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）＝100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格＝81元，由此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2＝81．
故选：B．
6．函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y＝ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y＝ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当a＝0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选：C．
7．若函数y＝
+（m+2）x+m+2的图象与x轴只存在一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0或2或﹣2
【分析】讨论：当
＝0，即m＝0时，y＝2x+2，函数为一次函数，它与x轴的交点只有一个交点；当≠0时，函数为二次函数，利用判别式的意义得到△＝（m+2）2﹣4××（m+2）＝0，解关于m的方程即可．
【解答】解：当＝0，即m＝0时，y＝2x+2，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；
当≠0时，△＝（m+2）2﹣4×
×（m+2）＝0，解得m1＝﹣2，m2＝2；
所以当m为0或2或﹣2时，函数y＝
+（m+2）x+m+2的图象与x轴只存在一个交点．
故选：D．
8．二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣4x+1 B．y＝2（x+4）2+1
C．y＝2x2+12x+17 D．y＝2x2﹣10x﹣17
【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（1，1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（1，1）平移后所得对应点的坐标为（﹣3，﹣1），然后根据顶点式写出平移后所得图象的解析式．
【解答】解：y＝2（x﹣1）2+1，则抛物线的顶点坐标为（1，1），把点（1，1）先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（﹣3，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y＝2（x+3）2﹣1，
即y＝2x2+12x+17．
故选：C．
9．若
则x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x≥﹣2 C．﹣2≤x≤0 D．﹣2＜x＜0
【分析】利用二次根式的非负性进行求解．
【解答】解：∵≥0，
∴﹣x≥0，x+2≥0，
∴﹣2≤x≤0，
故选：C．
10．如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象一部分，则以下正确的有：①b＞2a；②ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；③a﹣2b+c＜0；④a+b+c＝0；⑤8a+c＞0，其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．②③④⑤
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，可得出b＝2a，结论①错误；②由抛物线的对称轴及抛物线与x轴一个交点的坐标，可求出另一交点坐标，进而可得出ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，结论②正确；③由抛物线的开口方向及抛物线与y轴交点的位置可得出a＞0，c＜0，结合b＝2a，即可得出a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，结论③正确；④由当x＝1时y＝0，可得出a+b+c＝0，结论④正确；⑤由当x＝2时y＞0结合b＝2a，可得出4a+2b+c＝8a+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，结论①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点的坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（﹣3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，结论②正确；
③∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，结论③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，结论④正确；
⑤∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＝8a+c＞0，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有②③④⑤．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+1绕（0，1）逆时针旋转90度后刚好经过点（﹣1，2），则不等式0＜kx+1＜﹣2x的解集为 ﹣1＜x＜﹣
．
【分析】由题意可知直线y＝kx+1过点（1，2），将点（1，2）代入y＝kx+1，求出k的值，再解不等式组0＜kx+1＜﹣2x即可．
【解答】解：∵将直线y＝kx+1绕（0，1）逆时针旋转90°后，刚好经过点（﹣1，2），
∴直线y＝kx+1过点（1，2），
∴k+1＝2，
∴k＝1．
解不等式组0＜x+1＜﹣2x，得﹣1＜x＜﹣．
故答案为：﹣1＜x＜﹣．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 
．
【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝
AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC•sin∠ACN＝
，
∴AM＝
，
∴DE＝，
故答案为：．
13．关于x的方程（m﹣1）x2+2x+3＝0总有实数根，则m的取值范围为 m≤
．
【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可求出方程的解，进而可得出m＝1符合题意；当二次项系数非零时，由二次项系数非零及根的判别式△≥0，可求出m的取值范围．综上此题得解．
【解答】解：当m﹣1＝0，即m＝1时，原方程为2x+3＝0，
解得：x＝﹣
，
∴当m＝1时，原方程有解；
当m﹣1≠0时，∵方程（m﹣1）x2+2x+3＝0总有实数根，
∴△＝22﹣4×3×（m﹣1）≥0，
解得：m≤且m≠1．
综上所述：m的取值范围为m≤．
故答案为：m≤．
14．已知抛物线y＝k（x+1）（x﹣
）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是 4 ．
【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分：
①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC＝BC、AC＝AB、AB＝BC三种情况求解；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC＝AB一种情况列式计算即可．
【解答】解：y＝k（x+1）（x﹣
）＝（x+1）（kx﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC＝
＝
＝
，
点B坐标为（
，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC＝BC，则
＝，解得k＝3，
若AC＝AB，则+1＝，解得k＝
＝
，
若AB＝BC，则+1＝
，解得k＝
；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC＝AB，则﹣1﹣
＝
，解得k＝﹣
＝﹣
，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故答案是：4．
15．某种产品预计两年内成本将下降36%，则年平均下降率为 20% ．
【分析】可以设成本为1，降低以后的成本＝降低前的成本（1﹣降低率），设年平均下降率为x，则降低一次以后的成本是（1﹣x），降低二次后的成本是（1﹣x）2，根据题意列出方程即可．
【解答】解：设成本为1，年平均下降率为x，
依题意列方程：（1﹣x）2＝1﹣36%，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．
答：年平均下降率为20%．
故答案为20%．
16．在平面直角坐标系中，两点P（x，y）、Q（x，y′），其中y′＝
，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝﹣x2+16，其中﹣5≤x≤a时，可控点Q（x，y′）满足﹣16≤y′≤16，则a的取值范围是 
≤a≤4
．
【分析】根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
【解答】解：∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4，
当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，
当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0）
∴x＝，
∴实数a的取值范围
≤a≤4
，
故答案为
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）（x+1）（x﹣5）＝1
（2）x2﹣2x﹣1＝0
【分析】（1）整理后移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）（x+1）（x﹣5）＝1，
整理得：x2﹣4x﹣6＝0，
x2﹣4x＝6，
x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝10，
x﹣2＝
，
x1＝2+
，x2＝2﹣；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
x＝
，
x1＝1+
，x2＝1﹣．
18．周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【分析】设应邀请x支球队参加比赛，根据计划安排28场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛，
根据题意得：
x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）．
答：应邀请8支球队参加比赛．
19．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时旋转90°后的△A2B2C2，并求出点A旋转到A2所经过的路线长．
【分析】（1）△ABC向上平移4个单位，即可得到△A1B1C1；
（2）△ABC绕点O顺时旋转90°，即可得到△A2B2C2，运用弧长计算公式即可求出点A旋转到A2所经过的路线长．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
点A旋转到A2所经过的路线长＝
π×22＝π．
20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，结合m的取值范围即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22＝|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，
解得：m＞2．
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+5．
∵m＞2，
∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1•x2＝m2+5＞0，
∴x1＞0、x2＞0．
∵x12+x22＝
﹣2x1•x2＝|x1|+|x2|+2x1•x2，
∴4（m+1）2﹣2（m2+5）＝2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18＝0，
解得：m＝3．
21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x1＜0，x2＜0；
（3）若抛物线y＝x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB＝2OA•OB﹣3，求k的值．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；
（3）不妨设A（x1，0），B（x2，0）．利用x1，x2表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB＝2OA•OB﹣3即可列方程求解．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，
即﹣12k+5＞0
∴
．
（2）∵
，
∴x1＜0，x2＜0．
（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．
∴OA+OB＝|x1|+|x2|＝﹣（x1+x2）＝﹣（2k﹣3），
OA•OB＝|﹣x1||x2|＝x1x2＝k2+1，
∵OA+OB＝2OA•OB﹣3，
∴﹣（2k﹣3）＝2（k2+1）﹣3，
解得k1＝1，k2＝﹣2．
∵
，
∴k＝﹣2．
22．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，
（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．
【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则
，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式
w＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）
w＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），
（3）当50≤x≤80时，w＝﹣x2+300x﹣10400，
当x＝80有最大值，最大值为7200，
当80＜x＜140时，w＝﹣3x2+540x﹣16800，
当x＝90时，有最大值，最大值为7500，
故售价定为90元．利润最大为7500元．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α角，得到△ADE，DE交BC边于G，BD的延长线交EC的延长线于F，连AG．
（1）求证：△BCF≌△EDF；
（2）若DF＝2BD，求
的值；
（3）如图2，若AB＝
，∠BAC＝120°，α＝30°，直接写出CG的长为 6﹣2
．
【分析】（1）由△BAD≌△CAE（SAS），想办法提出∠EDF＝∠BCF，即可解决问题；
（2）如图1中，连接GF．作GM⊥CF于M，GN⊥BF于N．想办法证明∠DFG＝∠CGF，由GM⊥CF于M，GN⊥BF于N，推出GM＝GN，由DF＝2BD，可以设BD＝a，则DF＝CF＝2a，BF＝3a，根据
＝
＝
，即可解决问题；
（3）如图2中，连接GF，作CK⊥BF于K．利用（2）中结论：BG：CG＝BF：CF，求出AB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵△ADE是由△ABC旋转所得，
∴△ADE≌△ABC（旋转不变性），
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，∠ACB＝∠ABC＝∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠ACE，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠BCE，
∵∠EDF+∠BDE＝180°，∠BCF+∠BCE＝180°，
∴∠EDF＝∠BCF，
∵∠F＝∠F，
∴△BCF≌△EDF（AAS）．
（2）解：如图1中，连接GF．作GM⊥CF于M，GN⊥BF于N．
∵△BCF≌△EDF，
∴CF＝DF，BF＝EF，∠BCF＝∠EDF，
∴∠BDG＝∠ECG，BD＝EC，
∵∠BGD＝∠EGC，
∴△BGD≌△EGC（AAS），
∴DG＝GC，
∵GF＝GF，GD＝GC，DF＝CF，
∴△FGD≌△FGC（SSS），
∴∠DFG＝∠CGF，
∵GM⊥CF于M，GN⊥BF于N，
∴GM＝GN，
∵DF＝2BD，
∴可以设BD＝a，则DF＝CF＝2a，BF＝3a，
∵
＝
＝
，
∴＝
＝
．
（3）解：如图2中，连接GF，作CK⊥BF于K．
∵α＝30°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBF＝45°，
∵∠ACE＝75°，∠ACB＝30°，
∴∠BCF＝75°，
∵CK⊥BF，
∴∠CKB＝90°，
∴∠BCK＝∠CBK＝45°，
∴BK＝KC，∠KCF＝30°，设FK＝a，则CF＝2a，BK＝CK＝
a，
∴BF＝a+a，
由（2）可知BG：CG＝BF：CF＝
，
∵AB＝2，易知BC＝6，
∴CG＝BC×
＝6﹣2，
故答案为6﹣2
．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使
＝
？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若∠MON＝45°，求m的值．
【分析】（1）把B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2﹣4ax+b，解方程组即可．
（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K，将△OBD绕点O逆时针旋转90°得到△OCG，则点G在线段BC上，只要证明△GOD是等腰直角三角形，即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P．利用方程组即可解决问题．
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG，首先证明MN2＝CM2+BN2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则MN2＝[
（x2﹣x1）]2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]，
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3+m，由
消去y得到x2﹣3x+m＝0，由
，推出y1＝x2，y2＝x1，M、N关于直线y＝x对称，所以CM＝BN，设CM＝BN＝a，则MN＝3
﹣2a，利用勾股定理求出a以及MN的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2﹣4ax+b，
得
，解得
，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K．
由题意D（2，﹣1），B（3，0），C（0，3），
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设G（m，﹣m+3），
∴GD＝
GO，
∴（m﹣2）2+（﹣m+4）2＝2[m2+（﹣m+3）2]，
解得m＝±1，
当m＝1时，G（1，2）
设直线OG的解析式为y＝kx，把G点坐标代入得到，k＝2，
∴直线OG的解析式为y＝2x，
由
解得
或
，
∵点P在对称轴左侧，
∴点P坐标为（3﹣
，6﹣2）．
当m＝﹣1时，G（﹣1，4），
直线OG的解析式为y＝﹣4x，
方程组无解，此时点P不存在，
综上所述，满足条件的点P坐标为（3﹣，6﹣2）．
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG．
∵∠MON＝45°，
∴∠MOC+∠NOB＝∠NOB+∠BOG＝45°，
∴∠MON＝∠GON＝45°，∵ON＝ON，OM＝OG，
∴△ONM≌△ONG，
∴MN＝NG，
∵∠NBG＝∠NBO+∠OBG＝45°+45°＝90°，
∴NG2＝BN2+BG2，
∴MN2＝CM2+BN2，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则MN2＝[
（x2﹣x1）]2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]，
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3+m，
由
消去y得到x2﹣3x+m＝0，
∴
∴y1＝x2，y2＝x1，
∴M、N关于直线y＝x对称，
∴CM＝BN，设CM＝BN＝a，则MN＝3﹣2a，
∴（3﹣2a）2＝a2+a2，
∴a＝3﹣3（负根已经舍弃），
∴MN＝6﹣3
，
∴（6﹣3）2＝2（32﹣4m），
∴m＝
（﹣1）．
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