2017-2018学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.
1．已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B= ．
2．不等式
的解集是 ．
3．函数f（x）=
的定义域是 ．
4．若x＞0，则函数f（x）=
+x的最小值为 ．
5．若函数
，
，则f（x）+g（x）= ．
6．不等式|2x﹣1|＜3的解集为 ．
7．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）= ．
8．已知函数
，则方程f﹣1（x）=4的解x= ．
9．若函数f（x）=x2+
为偶函数，则实数a= ．
10．函数y=
的值域是 ．
11．已知函数f（x）=
，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
12．关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是 ．
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
13．“x+y=3”是“x=1且y=2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
14．下列各对函数中，相同的是（ ）
A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
B．f（x）=lg
，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）
C．f（u）=
，g（v）=
D．f（x）=x，g（x）=
15．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C．
D．
16．若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y=|f（x）|是偶函数；
②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；
③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．已知全集为R，集合A={x|
≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁RB）．
18．设函数f（x）=a﹣
（a∈R）．
（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．
19．关于x的不等式
＞1+
（其中k∈R，k≠0）．
（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；
（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．
20．已知f（x）=（
）2（x＞1）
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣
）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[
，
]恒成立，求实数a的取值范围．
21．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
2017-2018学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.
1．已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B= {x|2＜x≤7} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，
∴A∩B={x|2＜x≤7}，
故答案为：{x|2＜x≤7}
2．不等式
的解集是 （﹣4，2） ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】由不等式可得（x﹣2）（x+4）＜0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．
【解答】解：由不等式可得
＜0，即 （x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，
故不等式的解集为（﹣4，2），
故答案为 （﹣4，2）．
3．函数f（x）=
的定义域是 {x|x≥﹣2且x≠1} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．
【解答】解：由题意，要使函数有意义，则
，
解得，x≠1且x≥﹣2；
故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，
故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．
4．若x＞0，则函数f（x）=
+x的最小值为 2
．
【考点】基本不等式．
【分析】由x＞0，直接运用基本不等式，计算即可得到最小值．
【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2
=2，
当且仅当x=时，f（x）取得最小值2．
故答案为：2．
5．若函数
，
，则f（x）+g（x）= 1
（0≤x≤1） ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=
．
【解答】解：
；
解
得，0≤x≤1；
∴
（0≤x≤1）．
故答案为：
．
6．不等式|2x﹣1|＜3的解集为 {x|﹣1＜x＜2} ．
【考点】不等式；绝对值不等式．
【分析】将2x﹣1看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．
【解答】解：∵|2x﹣1|＜3
⇔﹣3＜2x﹣1＜3
⇔﹣1＜x＜2，
∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为 {x|﹣1＜x＜2}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．
7．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）= ﹣3 ．
【考点】函数的值．
【分析】根据函数奇偶性的性质求f（﹣1）即可求出f（1）的值．
【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1），
∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（﹣1）=2+1=3，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．
故答案为：﹣3．
8．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x= 1 ．
【考点】反函数；对数的运算性质．
【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．
【解答】解：由题意得，即求f（4）的值
∵，，
∴f（4）=log3（1+2）=1，
∴f（4）=1．
即所求的解x=1．
故答案为1．
9．若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a= 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即x2﹣=x2+，
则=0，则a=1，
故答案为：1
10．函数y=
的值域是 （﹣1，
） ．
【考点】函数的值域．
【分析】分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．
【解答】解：函数y==
=﹣1
．
∵2x+3＞3，
∴0＜
．
∴函数y=的值域是（﹣1，）
故答案为（﹣1，）
11．已知函数f（x）=
，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 a≤1 ．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据函数与方程的关系，将函数问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由F（x）=f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，
作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象如图：
当直线y=﹣x+a经过点A（0，1）时，两个函数有两个交点，
此时1=﹣0+a，即a=1，
要使两个函数有两个交点，则a≤1即可，
故实数a的取值范围是a≤1，
故答案为：a≤1
12．关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣3）∪{6} ．
【考点】函数的零点．
【分析】首先换元，令t=2x，则关于t方程 t2﹣kt+k+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果．
【解答】解：设t=2x，t＞0
x的方程4x﹣k•2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0，设f（t）=t2﹣kt+k+3，
原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，
∴f（0）＜0，或△=0，
∴k＜﹣3，或k=6
故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
13．“x+y=3”是“x=1且y=2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，
若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，
即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件，
故选：B
14．下列各对函数中，相同的是（ ）
A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
B．f（x）=lg
，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）
C．f（u）=
，g（v）=
D．f（x）=x，g（x）=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】对于A，通过定义域判断是不是相同的函数；
对于B求出函数的定义域，即可判断是不是相同的函数；
对于C：判断是否满足相同函数的要求即可；
对于D：通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数．
【解答】解：对于A：f（x）=lgx2，g（x）=2lgx两个函数的定义域不同，不是相同的函数；
对于B：f（x）=lg
，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；
对于C：f（u）=
，g（v）=，满足相同函数的要求，是相同的函数；
对于D：f（x）=x，g（x）=，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数．
故选C．
15．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C．
D．
【考点】一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．
【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；
C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；
D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；
选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，
故选C．
16．若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y=|f（x）|是偶函数；
②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；
③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，知：y=|f（x）|是偶函数；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递减．
【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴y=|f（x）|是偶函数，故①正确；
对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0，故②不正确；
y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；
y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．
故选B．
三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．已知全集为R，集合A={x|
≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁RB）．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁RB）即可．
【解答】解：全集为R，集合A={x|≤0}={x|﹣1＜x≤3}，
集合B={x||2x+1|＞3}={x|2x+1＞3或2x+1＜﹣3}={x|x＞1或x＜﹣2}，
所以∁RB={x|﹣2≤x≤1}，
A∩（∁RB）={x|﹣1＜x≤1}．
18．设函数f（x）=a﹣
（a∈R）．
（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根函数单调性的定义进行证明即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=a﹣
=0，
∴a=1；
（2）证明：任取：x1＜x2∈R，
∴f（x1）﹣f（x2）=a﹣
﹣a+
=2•
∵x1＜x2，
∴
，
又
＞0，
，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上的单调递增．
19．关于x的不等式
＞1+
（其中k∈R，k≠0）．
（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；
（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）若x=3在上述不等式的解集中，即x=3，求解关于k的不等式
＞1+即可．
（2）根据不等式与方程的思想求解，移项通分，化简，利用x=3求解k的值．
【解答】解：（1）由题意：x=3时，不等式＞1+化简为
，即
，可得（5﹣k）k＞0，
解得：0＜k＜5．
∴当x=3在上述不等式的解集中，k的取值范围是（0，5）
（2）不等式＞1+化简可得
（其中k∈R，k≠0）．
∵k＞1，
可得：
⇔kx+2k＞k2+x﹣3
不等式的解集是x∈（3，+∞），∴x=3是方程kx+2k=k2+x﹣3的解．
即3k+2k=k2，
∵k≠0，
∴k=5．
故得若k＞1时，不等式的解集是x∈（3，+∞）时k的值为5．
20．已知f（x）=（）2（x＞1）
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；反函数．
【分析】（1）求出f（x）的值域，即f﹣1（x）的定义域，令y=（）2，解得x=
，可得f﹣1（x）．
（2）不等式（1﹣
）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[
，
]恒成立⇔
在区间x∈[，]恒成立，
对区间x∈[，]恒成立．
【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（
）2（x＞1），解得x=，∴f﹣1（x）=
（0＜x＜1）；
（2）∵f﹣1（x）=（0＜x＜1），∴不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立⇔在区间x∈[，]恒成立，
对区间x∈[，]恒成立．
当a=﹣1时，不成立，
当a＞﹣1时，a＜
在区间x∈[，]恒成立，a＜（）min，﹣1＜a＜
．
当a＜﹣1时，a＞在区间x∈[，]恒成立，a＞（）max，a无解．
综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜
．
21．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求出f（x）的分段函数式，运用二次函数的性质，可得单调区间，求得最大值；
（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．
【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=
，
可知函数f（x）在区间[0，
]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，
则f（）=
，f（4）=12，
所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．
（2）f（x）=
，
①当x≥a时，因为a＞2，所以
＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，因为a＞2，所以
＜a．
所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．
当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，
在[，a]上是减函数，
当且仅当2a＜t•f（a）＜
时，
方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．
即1＜t＜
=
（a+
+4）．
令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，
故g（a）max=5．
∴实数t的取值范围是（1，
）．
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