长宁中学第一学期九年级数学期中考试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 在比例尺为1:2000 的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm，则A、B 两地间的实际
距离为（ ）
A．10m； B．25m； C．100m； D．10000m．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列
结论正确的是（ ）
A．AC：AE=2：5 B．AB：CD=2：5
C．CD：EF=2：5 D．CE：EA=5：7
3. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1，则sinB值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.下列命题中，正确的是 （ ）
A．凡是等腰三角形必相似 B．凡是直角三角形必相似
C．凡是等腰直角三角形必相似 D．凡是钝角等腰三角形必相似
5．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．
B．
，且∠A=∠E
C．
，且∠A=∠D D．
，且∠A=∠D
6． 如图，△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是（ ）
A.
B． 
C. 
D. 
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知
，则
8．已知
与单位向量
的方向相反，且的长度为5，那么用表示为 ．r
9．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）,且AB=6，则AP= ．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°， cosA=
，则∠B度数为 ．
11． 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC，若
，则
．
第12题图 第14题图 第16题图 第17题图
12. 如图所示，铁路的路基横断面都是等腰梯形，斜坡AB的坡度为
，斜坡AB的水平宽度BE=
，则斜坡AB= m.
13．计算：
．
14.如图，平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交 BD于点O， DO=4，则BD= ．
15．在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF= 时，△ABC和△DEF相似．
16．如图，点G为△ABC的重心，BC边上的高AD为6，则点G到BC边的距离为 ．
17．如图，梯形ABCD 中AD//BC，对角线AC 与BD 交于点O，如果
,那么
的值为 ．
18．如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（2，0），（6，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为 ．
三、解答题（19-22题，每题10分；第23-24题，每题12分；第25题14分；共78分）
19．
20.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，
1)求：
的值。
2）若
,
，用
（x，y为实数）的形式。
表示
(直接写出结果）.
21．已知：如图，在B、C两点位于教学楼两侧的空地上，教学楼顶为点A，从B测A的仰角为45°,且AB=6米，从A测C的俯角60°，求BC的长．（结果保留根号）
22．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E为DC中点，直线BE交AC于点F，交AD的延长线于点G；求证：EF•BG=BF•EG．
第22题图
23．如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．
（1）求证：△ADP∽△ABE；
（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．
24．如图：已知一次函数y=x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点C（4，m）在一次函数y=x+3的图象上，CD垂直x轴于点D．
（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如果点E在线段AC上，且
=，求E点的坐标；
（3）如果点P在x轴上，那么当△APC与△ABD相似时，
求点P的坐标．
25．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=
,OA=
，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，且点A与点
对应，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．
长宁中学2017学年第一学期初三数学期中考试试卷答案
1. C．2.D 3. D 4．C 5. C 6. C
7.
8. -5
．9.
10.60°11. 12. 6 13. 
14.12
15. 
，． 16. 2 17. 
18.（
）
19. 
20.1) 
2) 
21.过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴AD=BD，
设AD=x，
又∵AB=6，
∴Rt△ABD中，
解得x=
，
即AD=BD=，
在Rt△ACD中，∠ACD=60°，
∴∠CAD=30°，
tan30°=
，
即
∴CD=
∴BC=BD+DC=+．
22.．证明∵AB∥CD
∴∠GDE=∠GAB，∠GED=∠GBA，∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF．
∴△CEF∽△ABF，△DGE∽△AGB．
∴EF：BF=EC：AB，EG：BG=DE：AB．
∵DE=EC，
∴EF：BF=EG：BG．
∴EF•BG=BF•EG
23证明：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，
∴△ADP∽△ABE．
（2）解：如图，延长AD、EP交于点M．
∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，
∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，
∵△ADP∽△ABE，
∴
=
，
∴
=
∴EB=3a，
∵DM∥EC，
∴
=
∴
=
∴DM=
a，AM=
a，
∵AM∥EB，
∴
=
=
=
．
24 解：（1）把x=0，代入一次函数的解析式中，
可得：y=3，
所以点B的坐标是（0，3）；
把y=0代入一次函数的解析式中，
可得：x=﹣4，
所以点A的坐标是（﹣4，0），
把x=4代入一次函数的解析式中，
可得：y=6，
所以m的值是6；
（2）过E点作EF垂直x轴与F点，过C点作CD⊥x轴，如图1，
∴△AEF∽△ACD，
∵
，
∴
，
∵根据题意得：EF∥CD，且AD=8，CD=6，
∴
，
∴
，
∴E点的坐标为
（3）当点P在OA的延长线上时，∠BAD＞∠APC，∠BAD＞∠ACP，且∠BAD＜∠PAC，
当点P在如图2的位置上时，则△APC∽△ABD，
，则
，
当点P在如图3的位置上时，则△APC∽△ABD，
则AP=16，
则P2=（12，0），
综上所述：符合条件的点P
坐标是
．
25
解：（1）过B作BM⊥x轴于M；
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
；
∴BC=OA-AM=4
-
=
，CD=BC-BD=；
∴D点的坐标是(,)；
（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°，
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF
∴
，即
，
∴y与x的解析式为：
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
∴
，
，
∴，
∴；
（也可用S阴影=S△A'EF﹣S△A'BD）
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=，
∴
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA﹣OE=
，
过F作FH⊥AE于H，则
，
∴
．
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
或1或
．
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