建平中学2017学年第一学期
高一年级数学期末考试试卷
2018.1
一、填空题（每题3分，共36分）
1、已知全集
，集合
，则
=______
2、函数
在
内的零点为
=_____
3、关于的方程
的解集为________
4、函数
为奇函数，则实数
的值为______
5、集合
，
，若
，则实数的取值范围为_______
6、比较两数大小：
_____
（在横线处填“＞”或“＝”或“＜”）
7、函数
的定义域为
，则函数
的定义域为______
8、幂函数
的单调递减区间为_______
9、已知函数过定点
，则函数
过定点______
10、不等式
对任意
恒成立，则实数的最大值为______
11、若函数
在
内有两个零点，则实数的取值范围为_________
12、方程
恰有四个互异的实根，记为
，则
的值为______
二、选择题（每题3分，共12分）
13、在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（ ）
A、若经冬寒，必知春暖 B、不经冬寒，但知春暖
C、若知春暖，必经冬寒 D、不知春暖，但历冬寒
14、已知实数
满足
，下列不等式中一定成立的是（ ）
A、
B、
C、
D、
15、函数的定义域为
，函数
为奇函数，则函数
的定义域可能为（ ）
A、
B、
C、
D、
16、在股票等金融交易过程中，常用两种曲线来描述价格变化的情况：一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线，如
表示交易开始后2小时的即时价格为2元；
则表示交易2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（ ）
三、解答题（本大题共5题，满分52分）
17、（8分）不等式
的解集为集合
，不等式
的解集为集合
，求
18、（8分）解关于的方程：
19、（10分）“秃发”是一种常见的毛发疾病，随着发病人群年龄结构的年变化，逐渐引起了社会的广泛关注。一个人出生时头发数量约为100000根，数学徐老师建立了“秃发”函数模型作预估：一个人
岁时的头发根数为
，其中称为“脱发指数”
（1）杜老5岁时有74375根头发，请依据模型求出杜老师的“脱发指数”的值
（2）徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点：
①头发的根数应该为整数；②头发的根数不能为负数
徐老师感觉很有道理，将模型作了两处修正，请写出修正后（1）问中杜老师的“秃发”函数模型，并求出杜老师几岁时头发最多
20、（12分）设函数
（实数
为常数）
（1）当
时，证明
在
上单调递减
（2）若
，且为偶函数，求实数的值
（3）小金同学在求解函数的对称中心时，发现函数是一个复合函数，设
，
，则
，显然
有对称中心，设为
，
有反函数
，若
的对称中心为
，请问小金的做法是否正确？如果正确，请给出证明，并直接写出当
时的对称中心；如果错误，请举出反例，并用正确的方法直接写出当时的对称中心
21、（14分）设函数的反函数为
，若存在函数使得对函数定义域内的任意都有
，则称函数为函数的“Inverse”函数
（1）判断下列哪个函数是函数
的“Inverse”函数并说明理由
①
；②
（2）设函数存在反函数，证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为
（3）设函数
存在反函数，函数为的一个“Inverse”函数，记
，其中
，若对函数定义域内的任意都有
，求所有满足条件的函数的解析式
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