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2020年中考数学压轴题全揭秘精品专题07 圆中证明及存在性问题

专题07 圆中证明及存在性问题

【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB= 时，四边形ADFE为菱形；

（3）当AB= 时，四边形ACBF为正方形.

【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.

【解析】解：（1）∵EF∥AB，

∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，

∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴∠BAC=∠BAF，

又AB=AB，AC=AF，

∴△ABC≌△ABF（SAS）；

（2）如图，连接FC，

∵四边形ADFE是菱形，

∴AE=EF=FD=AD，

∵CE=2AE，∠CFE=90°，

∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB=60°，

故答案为：60°；

（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.

【变式1-1】（2019·开封二模）如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．

（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，则△AOE的最大面积为     ；

②当DA与⊙O相切时，若AB＝，则AC的长为     ．

【答案】（1）见解析；（2）；1.

【解析】解：（1）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BD，

∵AD＝AB，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴BC＝EC，

又∵OB=OE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC（SSS），

（2）①∵AB＝2，

∴OA＝1，

设△AOE的边OA上的高为x，

∴S_△AOE＝OA×h

＝h，

要使S_△AOE最大，需h最大，

点E在⊙O上，h最大是半径，

即：h_最大＝1

∴S_△AOE最大为：；

②如图所示，

当DA与⊙O相切时，则∠DAB＝90°，

∵AD＝AB＝，

∴∠ABD＝45°，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AC＝BC＝AB=1.

【例2】（2019·济源一模）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．

（1）试说明 DF 是⊙O 的切线；

（2）①当∠C=       °时，四边形 AODF 为矩形；

②当 tanC=       时，AC=3AE．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

（2）45°，理由如下：

由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，

∴∠B=45°，

∴∠C=∠B=45°，

故答案为：45°；

（3），理由如下，

连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE²=AB²－AE² =8AE²，

即BE=AE，

在Rt△BEC中，tanC=.

故答案为：.

【变式2-1】（2019·安阳一模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接DE，OE．

（1）求证：PD是⊙O的切线．

（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；

②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．

【答案】（1）见解析；（2）30；.

【解析】解：（1）连接OD，

∵OB=OD, ∠PDB=∠A，

∴∠ODB=∠ABD=90°－∠A=90°－∠PDB，

∴∠ODB+∠PDB=90°，

∴∠ODP=90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线.

（2）①30°，理由如下：

∠P=30°，则∠BOD=60°，

∴△BOD是等边三角形，

∴∠ADP=30°，∠A=60°，

∴△AOE是等边三角形，即∠AOE=60°，

∴∠EOD=60°，

∴△ODE是等边三角形，

∴OB=BD=DE=OE，

即四边形OBDE是菱形；

②连接BE，AD，如上图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴D为BC中点，

∴S_△DCE=S_△BCE，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，

∵AB=AC=4，

∴AE=BE=，CE=4-，

∴S_△DCE=S_△BCE，

=×BE·CE

=×××（4-）

=.

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