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2020年中考数学压轴题全揭秘精品专题08 圆中证明及计算问题

专题08圆中证明及计算问题

【例1】(2019·叶县一模)如图,OABC的外接圆,点OBC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BDCD,过点DBC的平行线与AC的延长线相交于点P

1)求证:PDO的切线;

2)求证:ABCPBDCD

3)当AB5 cmAC12 cm时,求线段PC的长.

【答案】见解析.

【解析】(1)证明:连接OD

∵∠BADCAD

∴弧BD=CD

∴∠BODCOD90°,

BCPA

∴∠ODPBOD90°,

ODPA

PDO的切线.

2)证明:∵BCPD

∴∠PDCBCD

∵∠BCDBAD

∴∠BADPDC

∵∠ABD+ACD180°,∠ACD+PCD180°,

∴∠ABDPCD

∴△BAD∽△CDP

ABCPBDCD

3)∵BC是直径,

∴∠BACBDC90°,

AB5AC12

由勾股定理得:BC13

由(1)知,△BCD是等腰直角三角形,

BDCD

ABCPBDCD

PC

【变式1-1】(2018·焦作一模)如图,ABC内接于O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接ADO于点E

1)求证:ABE≌△CDE

2)填空:

ABC的度数为     时,四边形AOCE是菱形;

AE=6BE=8,则EF的长为       

【答案】(1)见解析;(260.

解析】(1)证明:连接CE

AB=ACCD=CA

∴∠ABC=ACBAB=CD

四边形ABCE是圆内接四边形,

∴∠ECD+BCE=BAE +BCE=180°

∴∠ECD=BAE

同理,CED=ABC

∵∠ABC=ACB=AEB

∴∠CED=AEB

∴△ABE≌△CDE

260

连接AOOC

四边形ABCE是圆内接四边形,

∴∠ABC+AEC=180°

∵∠ABC=60

∴∠AEC=AOC=120°

OA=OC

∴∠OAC=OCA=30°

AB=AC

∴△ABC是等边三角形,

∴∠ACB=60°

∵∠ACB=CAD+DAC=CD

∴∠CAD=D=30°

∴∠ACE=30°

∴∠OAE=OCE=60°

四边形AOCE是平行四边形,

OA=OC

四边形AOCE是菱形;

由(1)得:ABE≌△CDE

BE=DE=8AE=CE=6D=EBC

CED=ABC=ACB

ECD∽△CFB

=

∵∠AFE=BFCAEB=FCB

∴△AEF∽△BCF

EF=

【例2】(2019·省实验一模)如图,ABO的直径,点CAB上方的圆上一动点,过点CO的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交O于点D,连接OCCDBCBD,且BDOC交于点E

1)求证:△CDE≌△CBE

2)若AB4,填空:

当弧CD的长度是    时,OBE是等腰三角形;

BC    时,四边形OADC为菱形.

【答案】(1)见解析;(22

【解析】(1)证明:延长AD交直线l于点F

AD垂直于直线l

∴∠AFC90°,

∵直线lO切线,

∴∠OCF90°,

∴∠AFCOCF90°,

ADOC

ABO直径,

∴∠ADB90°,

∴∠OEB90°,

OCDB

DEBEDECBEC90°,

CECE

∴△CDE≌△CBE

2如图2,连接OD

由(1)知∠OEB90°,

OBE是等腰三角形时,

OEB为等腰直角三角形,

∴∠BOEOBE=45°,

ODOBOEBD

∴∠DOCBOE45°,

AB4

OD2

∴弧CD的长==

当四边形OADC为菱形时,

ADDCOCAO2

由(1)知,BCDC

BC2.

【变式2-1】(2019·河南南阳一模)如图,四边形ABCDO的内接四边形,O的半径为2,∠B=135°,则弧AC的长为(

A. 2π B. π C. D.

【分析】根据弧长公式,需先确定弧AC所对的圆心角AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2D,根据圆内接四边形对角互补,求出D=180°-∠B=45°,再代入弧长公式求解即可.

【解析】解:∵四边形ABCDO的内接四边形,

D=180°-∠B=45°,

∴弧AC所对圆心角的度数为:2×45°=90°,

O的半径为2,

∴弧AC的长为:=π

故选B.

1.2018·洛阳三模)如图,在RtABC中,ACB=90°,以AC为直径的O,与斜边AB交于点DEBC边的中点,连接DE.

1)求证:DEO的切线;

2)填空:①若∠B=30°,AC=,则BD=

②当∠B= 时,以ODEC为顶点的四边形是正方形.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)连接OD

AC为直径,

∴∠ADC=90°,∠CDB=90°,

EBC的中点,

DE=CE=BE

∴∠DCE=EDC

OD=OC

∴∠OCD=ODC

∴∠ODC+CDE=OCD+DCE=90°,

ODE=90°,

DEO的切线;

2345°,理由如下:

①∵∠B=30°,AC=BCA=90°,

BC= AC÷tan30°=6

DE=3

②由∠B=A=45°,

OA=OD,得ADO=AOD=45°,

∴∠AOD=90°,

∴∠DOC=90°,

ODE=90°,

∴四边形ODEC是矩形,

OD=OC

∴四边形ODEC是正方形.

2.2018·河南第一次大联考)已知ABC内接于以AB为直径的O,过点CO的切线交BA的延长线于点D,且DAAB=12

1CDB的度数;

2在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EBO的位置关系,并证明.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)如图,连接OC

CDO的切线,

∴∠OCD=90°.

DAAB=12

DA=OCDO=2OC

RtDOC中,sinCDO=

∴∠CDO=30°,

CDB=30°.

2)直线EBO相切.

证明:连接OC

由(1)可知∠CDO=30°,

∴∠COD=60°,

OC=OB

∴∠OBC=OCB=30°,

∴∠CBD=CDB

CD=CB

CDO的切线,

∴∠OCE=90°,

∴∠ECB=60°,

CD=CE

CB=CE

∴△CBE为等边三角形,

∴∠EBA=EBC+CBD=90°,

EBO的切线.


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