专题08圆中证明及计算问题
【例1】(2019·叶县一模)如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:AB•CP=BD•CD;
(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:连接OD.
∵∠BAD=∠CAD,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BOD=∠COD=90°,
∵BC∥PA,
∴∠ODP=∠BOD=90°,
即OD⊥PA,
∴PD是⊙O的切线.
(2)证明:∵BC∥PD,
∴∠PDC=∠BCD.
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠BAD=∠PDC,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,
∴∠ABD=∠PCD,
∴△BAD∽△CDP,
∴,
∴AB•CP=BD•CD.
(3)∵BC是直径,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵AB=5,AC=12,
由勾股定理得:BC=13,
由(1)知,△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD=,
∵AB•CP=BD•CD.
∴PC=.
【变式1-1】(2018·焦作一模)如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E.
(1)求证:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①当∠ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=6,BE=8,则EF的长为 .
【答案】(1)见解析;(2)60;.
【解析】(1)证明:连接CE,
∵AB=AC,CD=CA,
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,
∴∠ECD=∠BAE,
同理,∠CED=∠ABC,
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,
∴∠CED=∠AEB,
∴△ABE≌△CDE;
(2)①60;
连接AO、OC,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ABC=60,
∴∠AEC=∠AOC=120°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACB=∠CAD+∠D,AC=CD,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠ACE=30°,
∴∠OAE=∠OCE=60°,
即四边形AOCE是平行四边形,
∵OA=OC,
∴四边形AOCE是菱形;
②由(1)得:△ABE≌△CDE,
∴BE=DE=8,AE=CE=6,∠D=∠EBC,
由∠CED=∠ABC=∠ACB,
得△ECD∽△CFB,
∴=,
∵∠AFE=∠BFC,∠AEB=∠FCB,
∴△AEF∽△BCF,
∴,
即,
∴EF=.
【例2】(2019·省实验一模)如图,AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点,过点C作⊙O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交⊙O于点D,连接OC,CD,BC,BD,且BD与OC交于点E.
(1)求证:△CDE≌△CBE;
(2)若AB=4,填空:
①当弧CD的长度是 时,△OBE是等腰三角形;
②当BC= 时,四边形OADC为菱形.
【答案】(1)见解析;(2);2.
【解析】(1)证明:延长AD交直线l于点F,
∵AD垂直于直线l,
∴∠AFC=90°,
∵直线l为⊙O切线,
∴∠OCF=90°,
∴∠AFC=∠OCF=90°,
∴AD∥OC,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠OEB=90°,
∴OC⊥DB,
∴DE=BE,∠DEC=∠BEC=90°,
∵CE=CE,
∴△CDE≌△CBE;
(2)①如图2,连接OD,
由(1)知∠OEB=90°,
当△OBE是等腰三角形时,
则△OEB为等腰直角三角形,
∴∠BOE=∠OBE=45°,
∵OD=OB,OE⊥BD,
∴∠DOC=∠BOE=45°,
∵AB=4,
∴OD=2,
∴弧CD的长==;
②当四边形OADC为菱形时,
则AD=DC=OC=AO=2,
由(1)知,BC=DC,
∴BC=2.
【变式2-1】(2019·河南南阳一模)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则弧AC的长为( )
A. 2π B. π C. D.
【分析】根据弧长公式,需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D,根据圆内接四边形对角互补,求出∠D=180°-∠B=45°,再代入弧长公式求解即可.
【解析】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=180°-∠B=45°,
∴弧AC所对圆心角的度数为:2×45°=90°,
∵⊙O的半径为2,
∴弧AC的长为:=π,
故选B.
1.(2018·洛阳三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O,与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)填空:①若∠B=30°,AC=,则BD=
②当∠B= 时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)连接OD,
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,∠CDB=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠DCE=∠EDC,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°,
即∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)3;45°,理由如下:
①∵∠B=30°,AC=,∠BCA=90°,
∴BC= AC÷tan30°=6,
∴DE=3,
②由∠B=∠A=45°,
OA=OD,得∠ADO=∠AOD=45°,
∴∠AOD=90°,
∴∠DOC=90°,
又∠ODE=90°,
∴四边形ODEC是矩形,
∵OD=OC,
∴四边形ODEC是正方形.
2.(2018·河南第一次大联考)已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA∶AB=1∶2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)如图,连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°.
∵DA:AB=1:2,
∴DA=OC,DO=2OC.
在Rt△DOC中,sin∠CDO=,
∴∠CDO=30°,
即∠CDB=30°.
(2)直线EB与⊙O相切.
证明:连接OC,
由(1)可知∠CDO=30°,
∴∠COD=60°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CD=CB,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°,
∴∠ECB=60°,
又∵CD=CE,
∴CB=CE,
∴△CBE为等边三角形,
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°,
∴EB是⊙O的切线.
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