专题06图形面积计算
【例1】(2019·南阳模拟)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半径OA=6,将扇形AOB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则整个阴影部分的面积为( )
A.9π﹣9 B.9π﹣6 C.9π﹣18 D.9π﹣12
【答案】D.
【解析】解:连接OD,
由折叠的性质知:CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,
∴OB=OD=BD,
即△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=60°,
∴∠CBO=30°,
∴OC=OB=2,
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×2=6,
S扇形AOB=9π,
∴S阴影=S扇形AOB﹣S△BDC﹣S△OBC
=9π﹣6﹣6
=9π﹣12.
所以答案为:D.
【变式1-1】(2019·开封模拟)如图,把半径为2的⊙O沿弦AB,AC折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积为( )
A. B. C.2 D.4
【答案】C.
【解析】解:过O作OD⊥AC于D,连接AO、BO、CO,
∴OD=AO=1,AD=AC=,
∴∠OAD=30°,
∴∠AOC=2∠AOD=120°,
同理∠AOB=120°,∠BOC=120°,
∴S阴=2S△AOC
=2××22=2,
所以答案为:C.
【变式1-2】(2017·郑州一模)如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是 .
【答案】.
【解析】解:设折痕为AB,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,
由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=,
在RT△AOC中,OA=1,OC=,
∴∠AOC=60°,AC=,AB=2AC=,
∴∠AOB=2∠AOC=120°,
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=π×12﹣2()
=.
故答案为:.
【例2】(2019·郑州外外国语测试)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,若图中阴影部分面积为,则AB=
【答案】2.
【解析】S阴影=S△ADE+S扇形BAD-S△ABC
∵S△ADE= S△ABC
∴S阴影= S扇形BAD=,
∴=,
解得:AB=2,
故答案为:2.
【变式2-1】(2019·河南南阳一模)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )
A. 3 B. C. D.
【分析】求线段的长度,常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解,如图作出辅助线,通过分析可知,△ADM≌△ABF≌△AEM,可得DM=EM=1,AE=AD=AB=3,进而利用△AEK∽△EMH,求得EH,MH的长,再计算出EG,FG的长,在Rt△EFG中,利用勾股定理求EF的长度即可.
【解析】过点E作EG⊥BC于G,作EH⊥CD于H,延长HE交AB于K,如图所示,
由题意知,△ADM≌△ABF≌△AEM,
∴DM=EM=1,AE=AD=AB=3,
由△AEK∽△EMH,
得:=3,
∴设EH=x,则AK=3x,即DH=3x,MH=3x-1,
在Rt△EMH中,由勾股定理得:
,
解得:x=0(舍)或x=,
∴MH=,AK=DH=,CH=3-DH=,
KE=BG=3MH=,
∴FG=BF+BG=,EG=CH=,
在Rt△EFG中,由勾股定理得:
EF=,
故答案为:C.
【变式2-2】(2019·洛阳二模)如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形AB′C′D′,点 C 的运动路径为弧 CC′,当点 B′落在 CD 上时,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】.
【解析】解:连接AC’,AC,过点B’作B’E⊥AB于E,如图图所示,
由旋转性质,得:AC=AC’, AB’=AB=2,∠CAB=∠C’AB’,
∵BC=B’E=1,
∴∠B’AB=30°,
∴∠C’AC=30°,
∴AE=,B’C=2-,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=,
∴S阴影=S扇形C’AC-S△AB’C’-S△B’CA
=
=.
故答案为:.
【例3】(2019·河南南阳一模)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,CA=4,D为AC的中点,以D为圆心,以DB的长为半径作圆心角为90°的扇形EDF,则图中阴影部分的面积为 .
【分析】设DE与BC交于M,DF与AB交于N,S阴影=S扇形EDF-S四边形DMBN,根据△DBM≌△DAN,得S四边形DMBN=S△BDA,再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.
【解析】解:设DE与BC交于M,DF与AB交于N,
∵AB=BC,∠ABC=90°,D是AC中点,
∴∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°,AD=BD=2,∠BDA=90°,
∵∠EDF=90°,
∴∠BDM=∠ADF,
∴△DBM≌△DAN,
即S△DBM=S△DAN,
∴S四边形DMBN=S△BDA,
S阴影=S扇形EDF-S四边形DMBN
=
=
=π-2,
故答案为:π-2.
【变式3-1】(2018·洛阳三模)如图,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,CD与弧AB交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作弧CE交OB于点E,若OA=6,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】.
【解析】解:连接OD,交弧CE于F,连接AD,
∵OC=AC=3,CD⊥OA,
∴CD是线段OA的垂直平分线,
∴OD=AD,
∵OD=OA,
∴△OAD是等边三角形,
∵∠AOB=120°,
∴∠DOA=∠BOD=60°,
∴CD=OC=3,
∴S阴影=S扇形BOD-S扇形EOF+S△COD-S扇形COF
=
=3π+.
即答案为:3π+.
【变式3-2】(2018·河南第一次大联考)如图,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板的圆心绕O旋转,则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a
【答案】B.
【解析】解:如图,过O作OE⊥AD于E,OF⊥CD于F,
∴OE=OF,∠EOF=90°,
∴四边形OEDF是正方形,OF=,
∵扇形的圆心角为直角,
∴△OME≌△ONF,
∴S阴影=S正方形OEDF=,
故答案为:B.
1.(2018·河南师大附中模拟)如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分(△BDF)的面积等于 .
【答案】.
【解析】解:由题意得:S△BDF=S菱形ABCD+S菱形ECGF-S△BGF-S△EDF-S△ABD
菱形ECGF边CG边上的高为:GF·sin60°=,
菱形ECGF边CE边上的高为:EF·sin60°=,
∴S△BDF=
=,
故答案为:.
2.(2019·济源一模)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,中间的小正方形 ABCD 的边长为 1,分别以A,C为圆心,1为半径作圆弧,则图中阴影部分的面积为
【答案】.
【解析】解:连接BD,
S阴影=2(S扇形BAD-S△ABD)
=2()
=,
故答案为:.
3.(2019·偃师一模)如图,正方形ABCD 中,AB=1,将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE,线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF,连接 EF,则图中阴影部分的面积是
【答案】-.
【解析】解:
过F作FM⊥BE于M,则∠FME=∠FMB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,AB=1,
∴∠DCB=90°,DC=BC=AB=1,∠DCB=45°,
由勾股定理得:BD=,
由旋转性质得:
∠DCE=90°,BF=BD=,∠FBE=90°-45°=45°,
∴BM=FM=1,即C点与M点重合,ME=1,
∴阴影部分的面积:S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE-S扇形DBF
=+1+-
=-,
故答案为:-.
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