专题03 折叠与落点有迹性
【例题】（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于
【答案】10或
.
【解析】解：点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆，圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’，
如图作出图形，
分两种情况计算：
①连接BB’，过B’作B’E⊥BC于E，如下图所示，
由题意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP，
∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°，
∴∠APB=∠CB’E，
∴△CB’E∽△APB，
∴
,即
，
设BP=x，则B’P=x，EP=4－x，B’E=
x，
在Rt△B’PE中，由勾股定理得：
，
解得：x=10（舍）或x=
，
即BP=
；
②过A作AH⊥MN于H，如图所示，
∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,
∴B’H=3，B’G=8，
设BP=x，则B’P=x，PG=x－4，
在Rt△PGB’中，由勾股定理得：
，
解得：x=10，即BP=10;
综上所述，答案为：10或
.
【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB 上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形ABC的边上时，AE 的长为 ．
【答案】1或5－
.
【解析】解：第一步：确定落点，点F在以D为圆心，以线段AD的长为半径的弧上，如下图所示，
第二步，根据落点确定折痕（对称轴）
（1）∵AD=DF=2，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∵DE平分∠ADF，
∴AE=EF=1；
（2）如下图所示，
由对称知，∠EFD=∠A=60°，
∴∠EFB+∠DFC=120°，
∵∠DFC+∠FDC=120°，
∴∠EFB=∠FDC，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BEF∽△CFD，
∴
,
设AE=x，则BE=3－x，
即
,
∴BF=
，CF=
，
∵BF+CF=3，
即
+
=3，
解得：x=5+
（舍）或x=5－
，
综上所述，答案为：1或5－
.
1.（2019·洛阳二模）如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为 ．
【答案】1或5－
.
【解析】解：第一步确定落点，AC的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线；
（1）如下图所示，
由折叠性质得：∠B=∠EDP=60°，
∴∠CDE+∠ADP=120°，
∵∠A=∠C=60°，
∴∠ADP+∠APD=120°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△CED∽△ADP，
∴
，
设BP=DP=x，则AP=3－x，
∴
，
∴CE=
，DE=
，
∵DE=BE，
∴CE+DE=CE+BE=3，
即
+
=3，
解得：x=
；
（2）如下图所示，当CD=1时，
同理可得：
∴
，
设BP=DP=x，则AP=3－x，
∴
，
∴CE=
，DE=
，
∴
+
=3，
解得：x=
；
综上所述，PB的长为
或
.
2.（2017·新野一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为 ．
【答案】4或4﹣2
．
【解析】解：如图1所示：
由翻折的性质可知PF=CF=4，
∵ABFE为正方形，边长为2，
∴AF=2
．
∴PA=4﹣2
．
如图2所示：
由翻折的性质可知PF=FC=4．
∵ABFE为正方形，
∴BE为AF的垂直平分线．
∴AP=PF=4．
故答案为：4或4﹣2
．
3.（2018·信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2
，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为 ．
【答案】4或4
．
【解析】解：第一步，确定落点，以E为圆心，AE的长为半径画弧，与BC的垂直平分线的交点即为A’，
第二步，作出折痕，求解.
(1) 如下图所示，
由折叠性质知：A′E=AE=2
，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
AM=
AD=3，
过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2
，
由勾股定理得：A′H=
，
∴A′M=
，
由MF2+A′M2=A′F2，
得（3﹣AF）2+（
）2=AF2，
解得：AF=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；
（2）如下图所示，
可得：A′E=AE=2
，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，
在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG=
，
∴DH=AG=AE+EG=3
，
在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4
；
故答案为：4或4
．
4.（2019·三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ．
【答案】
，
．
【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，
∵点B、C′、D′在同一直线上，
∴∠BC′E＝90°，
∵BC＝12，BE＝2CE，
∴BE＝8，C′E＝CE＝4，
在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，
①当点C′在B、D’之间时，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，
∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，
∴∠BEC′＝60°，
由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF，
∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，
∵AD∥BC
∴∠HFE＝∠CEF＝60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝2
，
∴AF═8+2
；
②当点D′在B、C’之间时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，
同理可得：AF＝8﹣2
，
故答案为：
或
．
5.（2019·南阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为 ．
【答案】15或
.
【解析】解：第一步：确定落点，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CD于B’，
分两种情况讨论；
第二步，根据落点作出折痕，求解；
（1）如下图所示，
由折叠知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE，
∴CE＝3﹣BE，
∵AD＝3，
∴DB′＝4，B′C＝1，
由勾股定理知：B′E2＝CE2+B′C2，
∴BE2＝（3﹣BE）2+12，
∴BE＝
；
（2）如下图所示，AB′＝AB＝5，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AE垂直平分BB′，
∴AB＝BF＝5，
∴CF＝4，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴
，
即
，
∴CE＝12，
∴BE＝15，
故答案为：
或15．
6.（2019·开封模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2
cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 cm．
【答案】
或
.
【解析】解：∵N不与A重合，
∴B落点不会在BC上，
分两种情况讨论：
（1）当B关于直线MN的对称点B'落在AB边上时，
此时，MN⊥AB，即∠BNM=90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝2
，M是BC中点，
∴∠B=60°，BM=
,
∴BN=
BM=
；
（2）当点B关于直线MN的对称点B'落在边AC上时，
则MN⊥BB′，可得：四边形BMB′N是菱形，
∴BN＝BM＝
BC＝
，
故答案为：
或
．
7.（2019·开封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为 ．
【答案】
或
.
【解析】解：矩形对角线有两条，AC、BD，所以先以D为圆心以AD的长为半径作弧，与对角线AC、BD的交点即为A’点；再作出AA’的垂直平分线即为折痕；
（1）点A落在矩形对角线BD上时，
由AB＝4，BC＝3，得：BD＝5，
根据折叠的性质，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，
∴BA′＝2，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由勾股定理得：BP2＝BA′2+PA′2，
（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝
，
∴AP＝
；
②点A落在矩形对角线AC上，
根据折叠的性质可知：DP⊥AC，
易证：∠ACB=∠APD，
∴tan∠ACB= tan∠APD，
∴AP＝
=
．
故答案为：
或
.
8.（2019·枫杨外国语三模）如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【答案】
或
.
【解析】解：第一步确定落点，因为BC的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，
第二步，确定落点后，画出折痕EF，求解.
(1)如下图所示
过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H，
则∠A’BH=60°，
∵A’B=2，
∴BH=1，A’H=
,
设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=9－x，
在Rt△A’EH中，由勾股定理得：
，解得：x=
，
即AE=
;
（2）如下图所示，
过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H，
则∠A’BH=60°，
∵A’B=4，
∴BH=2，A’H=2
,
设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=10－x，
在Rt△A’EH中，由勾股定理得：
，解得：x=5.6，
即AE=5.6;
综上所述，答案为：
或5.6.
9.（2019·中原名校大联考）如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为 ．
【答案】
.
【解析】解：由题意知，A’落在对角线BD上，连接A'D，
则B、A’、D在同一直线上，
∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1，
∴BD＝
，
∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝
﹣1，
由正方形性质知，∠PDA’=∠A’PD=45°，
∴AP=A’P=A’D=
﹣1，
故答案为：
﹣1．
10.（2017·禹州一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
【答案】(10,3).
【解析】解：∵四边形A0CD为矩形，D（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
由折叠性质知：AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=6，
∴FC=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，
即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
∴点E的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
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