专题02 折叠与图形存在性
【例1】(2019·郑州外国语模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CD是△ABC的中线,E是边BC上一动点,将△BED沿ED折叠,点B落在点F处,EF交线段CD于G,当△DFG是直角三角形时,则CE= .
【答案】1,.
【解析】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=2,
由折叠性质知∠F=∠B≠90°,
分两种情况讨论,
(1)当∠FDG=90°时,
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD=BD=AD=,
∴∠B=∠DCE=∠F,
∵∠DCE+∠GEC=∠F+∠FDG,
∴∠GEC=90°,
在Rt△DFG中,tan∠F=,
∴DG=,
∴CG=CD-DG=,
在Rt△CEG中,CE=CG·cos∠GCE=×=1;
(2)当∠FGD=90°时,
由(1)知∠B=∠F=∠DCB,
由BD=DF=,
∴DG=DF·sin∠F=×=1,
∴CG=CD-DG=-1,
∴CE=CG÷cos∠DCB=(-1)÷=,
故答案为:1,.
【变式1-1】(2018·洛阳三模)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=8,点P为线段AB上一动点,过点P作PE⊥AB交直线AD于E,沿PE将∠A折叠,点A的对称点为点F,连接EF、DF、CF,当△CDF是直角三角形时,AP= .
【答案】或.
【解析】解:①如图,当DF⊥AB时,△CDF是直角三角形,
∵在菱形ABCD中,AB=8,
∴CD=AD=AB=8,
在Rt△ADF中,AD=8,∠DAN=45°,DF=AF=4,
∴AP=2;
②如图,当CF⊥AB时,△DCF是直角三角形,
在Rt△CBF中,∠CFB=90°,∠CBF=∠A=45°,BC=8,
∴BF=CF=4,
∴AF=AB+BF=8+4,
∴AP=AF=4+2,
故答案为:4或4+2.
【例2】(2019·河南南阳一模)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,点E在边BC上,将△DEC沿DE翻折后,点C落在点C’处. 若△ABC’是等腰三角形,则CE的长为 .
【分析】根据△ABC’是等腰三角形,分①AB=AC’=2;②AC’=BC’,即C’落在AB的垂直平分线上时;③AB=BC’=2,三种情况讨论,逐一作出图形求解即可.
【答案】2或.
【解析】解:分三种情况讨论:
①AB=AC’=2,如图所示,
可得:四边形CDC’E是正方形,即CE=2;
②AC’=BC’,即C’落在AB的垂直平分线MN上时,如图所示,
∴DM=1,C’D=2,
∴∠C’DM=30°,
即得:∠C’DC=60°,∠EDC=30°,
∴CE=CD·tan∠EDC
=2×
=;
③AB=BC’=2,
此时作出C’的运动轨迹,及以B为圆心,2为半径的圆,发现二者不相交,如图所示,
即此种情况不存在;
综上所述,答案为:2或.
【变式2-1】(2019·郑州外外国语测试)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC≤BC,将△ABC沿EF折叠,使点A落在直角边BC上的D点,设EF与AB、AC分别交于点E、F,如果折叠后△CDF和△BDE均为等腰三角形,那么∠B= .
【答案】45°或30°.
【解析】解:若△CDF是等腰三角形,∵∠C=90°,
∴∠CDF=∠CFD=45°,
由折叠性质知,∠A=∠FDE,∠B=∠EFD,
若△BDE是等腰三角形,则:
(1)若DE=BD,设∠B=∠DEB=x°,则∠A=∠FDE=90-x,
∵∠CDE=∠B+∠DEB,
∴45+90-x=x+x,解得:x=45,
即∠B=45°,
(2)若DE=BE,
∠CDE=180°-∠BDE=180°-∠B,
∠CDE =45°+∠FDE=45°+∠A=45°+90°-∠B=135°-∠B,
∴不符合题意,
(3)若BD=BE,设∠B=x,则∠BDE=∠BED=90°-x,
∠CDE =45°+∠A=135°-x,
∠CDE =∠B+∠DEB=90°+x,
∴135°-x=90°+x,解得:x=30,
即∠B=30°,
综上所述,∠B的度数为:45°或30°.
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