2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题03实际应用中的解三角形问题
1．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取
两点，从两点分别测得树尖的仰角为
，
，且两点之间的距离为
，则树的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设树高为
，则
（
）
本题正确选项：
2．【甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考】某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3
km，此时发现离出发点恰好3km，那么x的值为（ ）
A．3 B．6 C．3或6 D．4或6
【答案】C
【解析】
设出发点为
，向东航行到
处后改变航向到达，
则
，
，
，
，
由正弦定理可得：
，即
，
．
或
，
（1）若
，则
，
为直角三角形，
，
（2）若
，则
，为等腰三角形，
．
故选．
3．【2018-2019学年湖北省武汉十五中等三校联考】如图，在山脚测得山顶
的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走
米到，在处测得山顶的仰角为
，求山高
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设
，
中，
，
，
∴
，∴
．
∴
米．
故选A．4．【四川省成都外国语学校2018-2019学年高一下学期3月月考】如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
由已知，
中，
，
，
由正弦定理，
，
所以
，
在
中，
，
由正弦定理，
，
所以
，
在
中，由余弦定理，
，解得：
．
所以与的距离.
故选B5．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】如图，为了测量山坡上灯塔
的高度，某人从高为
的楼
的底部处和楼顶处分别测得仰角为
，
，若山坡高为
，则灯塔高度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
过点作
于点
，过点作
于点
，
如图所示，在中，由正弦定理得，
，
即
，
，在
中，
，
又山高为，则灯塔的高度是
．
故选．
6．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】某炮兵阵地位于点，两个观察所分别位于，
两点，已知为等边三角形，且
，当目标出现在点（，两点位于两侧）时，测得
，
，则炮兵阵地与目标的距离约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示： ∠CBD＝180°﹣∠CDB﹣∠BCD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
在△BCD中，由正弦定理，得：
故BD=2
在△ABD中，∠ADB＝45°+60°＝105°，
由余弦定理，得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°
∴AB=
．
故炮兵阵地与目标的距离为
故选C
7．【贵州省贵阳市清镇北大培文学校2018-2019学年高一下学期3月月考】如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得
，
，
米，并在C测得塔顶A的仰角为
，则塔AB的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
在△BCD中，由正弦定理得
，
在Rt△ABC中，
，
故选：D．8．【江西省新余市分宜中学2019-2020学年高二上学期第一次段考】一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )
A．5海里/时 B．
海里/时 C．10海里/时 D．
海里/时
【答案】C
【解析】
如图依题意有
,
,
∴
,从而
,
在
中,求得
,
∴这艘船的速度是
(海里/时)9．【广东省广州市铁一中学、广外等三校2016-2017学年高一下学期期末】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为，
，且、两点间的距离为
，则树的高度为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
，
，
，
，
．
由正弦定理得：
，
∴
，
∴树的高度为
，
答：树的高度为．
本题选择A选项.10．【四川省南部县五校2017-2018学年高一下学期期末】某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为
，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题意作图所示：
，仰角
，俯角
，
在等腰直角
中，
，
在直角
中，，
，
小高层的高度为
．
故选B．
11．【四川省泸州市泸化中学2017-2018学年高一5月月考】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处测得公路北侧一山顶在西偏北（即 
）的方向上；行驶
后到达处，测得此山顶在西偏北
（即
）的方向上，且仰角为．则此山的高度＝( )
A．
m B．
m
C．
m D．
m
【答案】C
【解析】
由题意得在
中，
，
，
，AB=600m,
由正弦定理
m,
又仰角为
，即
，所以
m，选C.12．【福建福鼎三校联考2019届高三上半期考】如图，一栋建筑物的高为
，在该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点
（
三点共线）处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶C的仰角为，则通信塔的高为（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】B
【解析】
作AE⊥CD，垂足为E，则：
在△AMC中，AM=
=20
，∠AMC=105°，∠ACM=30°，
∴
，
∴AC=60+20，
∴CD=30-10+AC
=60m.
本题选择B选项.13．【北京101中学2017-2018学年下学期高一年级期中】北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B．其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是_______.
【答案】②③.
【解析】
考查所给的四个条件：
①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；
③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；
④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②③.14．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则
______________．
【答案】
【解析】
在中，
海里，
海里，
，
由余弦定理可得
，
所以
海里,
由正弦定理可得
，
因为，可知
为锐角，所以
所以
．15．如图，为测量山高
，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角
，点的仰角
以及
；从点测得
．已知山高
，则山高
______________．
【答案】150.
【解析】
根据题意，在中，已知
，易得
；在
中，已知
，易得
，
由正弦定理可得
，即
；
在
中，已知
，易得
．
故答案为15016．【上海市黄浦区2016-2017学年高一下学期期终调研】某货船在
处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为______海里.
【答案】
【解析】
由题意画出图形为：
因为
，
，所以
，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以
（海里）．
在
中，利用正弦定理得：
，所以
；
故答案为：．
17．【上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断】如图，某快递小哥从地出发，沿小路
以平均速度为20公里
小时送快件到处，已知
公里，
，
是等腰三角形，
．
（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路
追赶，若汽车的平均速度为60公里小时，问，汽车能否先到达处？
【答案】(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．
(2)汽车能先到达处．
【解析】
（1）
（公里），
中，由
，得
（公里）
于是，由
知，
快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．
（2）在中，由
，
得
（公里），
在中，
，由
，
得
（公里），-
由
（分钟）
知，汽车能先到达处．18．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得
，
，
，并在点C测得塔顶A的仰角为
，求塔高.
【答案】
【解析】
在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.19．【四川省蓉城名校联盟2017-2018学年高一4月联考】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为
，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为
的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以
海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.
【答案】舰艇靠近渔船所需的最少时间为1小时,舰艇航行的方位角为
.
【解析】
如图所示，设所需时间为
小时，
则
.
在中，根据余弦定理，则有
，
可得
，
整理得
，
解得
或
(舍去).
即舰艇需1小时靠近渔船，
此时
,
在中，由正弦定理，得
，
所以
，
又因为
为锐角，
所以
，
所以舰艇航行的方位角为.
20．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
【答案】
海里
【解析】
在
中，
，
，
，
由正弦定理知
得
，
∴
.
在
中，
，
又
，∴
，
∴可得P、C间距离为（海里）21．【重庆市大学城第一中学校2018-2019学年高一下学期第一次月考】在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为
n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西
方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)
【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需
小时
【解析】
设缉私艇追上走私船需t小时，
则BD=10 t n mile CD=
t n mile
∵∠BAC=45°+75°=120°
∴在△ABC中，由余弦定理得
即 
由正弦定理得
∴ ∠ABC=45°，
∴BC为东西走向
∴∠CBD=120°
在△BCD中，由正弦定理得
∴ ∠BCD=30°，∴ ∠BDC=30°
∴
即 
∴ 
（小时）
答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时.22．【2017届河南息县一高中高三上月考】如下图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为100米，
，
，
，
．
（1）求△
的面积；
（2）求船的长．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由题意，，，得
，
∴
，
∴
（平方米）．
（2）由题意
，
，
，
在△
中，
，即
，
∴
，
在△中，
，
在△
中，
．
故船长为米．
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