2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题03实际应用中的解三角形问题
【知识导图】
【目标导航】
1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式；
2．会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问题.
【重难点精讲】
重点一、基线的概念
(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
重点二、实际测量距离中，常用的名称术语
(1)方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述．
重点三、仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．
重点四、视角
观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角．
重点五、坡角、坡比
(1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α．
(2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的L(H)．
【典题精练】
考点1、不易到达点测量距离问题
例1．【重庆市第一中学2018-2019学年高一下学期4月月考】如图是某一河流地区平面示意图，
、
、
为三块湖泊区域，现在某勘测队要测量
之间的距离，为了减少成本只能在河流的西侧（如图左侧）测量.勘测队员在
处测得
，然后到
点测量出
，
，且
，最后又在
处测量到
，
，且
.（在本题目中
，
，以下计算最终结果都保留一位小数）
（1）请计算
的面积；
（2）计算的距离.
【答案】（1）
（答案
皆可）；（2）
.
【解析】
（1）在
中，，，
，
，
在
中，，，
，
，
所以
（答案皆可）；
（2）在中，由余弦定理得
，
因此，
.考点点睛：(1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解；
(2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、∠ACB和AC，用正弦定理解决．
(3)当两点A、B都不可到达时，选取对A、B可视的点C、D测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠DBC和CD，用正弦定理和余弦定理求解．
考点2、正、余弦定理在航海距离测量中的应用
例2．在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中
，
)且与点A相距10
n mile的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
【答案】（I）船的行驶速度为
（海里/小时）.（II）船会进入警戒水域.
【解析】
（I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos
=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=
AB=40,
x2=ACcos
,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
=
=
.
从而
在
中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP
BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt
中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.考点点睛：常见的航海测量距离问题有：
(1)沿某航向航行，有无触礁危险，只要求出礁石到航线的距离即可；
(2)追及问题
如图：
轮船甲沿AB方向航行，快艇乙从C地出发，沿什么方向出发能尽快追上甲？
解题要点是两船航行时间相同．
考点3、利用仰角测量高度
例3．如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC（该楼的高度低于山的高度）.试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案.
【答案】详见解析
【解析】
设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是α，β，从楼顶下B点看塔底的仰角为γ，测出BC=h.如图，
在△BCF中，BC=h，
，
，
.
由正弦定理，得
，即
，
所以
.
在Rt△BEF中，有
.
在Rt△CGM中，CM=BE，∠GCM=α，则
.
在Rt△CFM中，CM=BE，∠FCM=β，则
.
从而电视塔的高
.考点点睛：测量高度的方法
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．构造三角形的方法常见的有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解．
考点4、利用俯角测量高度
例4．【上海市长宁区2018-2019学年高一第二学期期末】如图，某人在离地面高度为
的地方，测得电视塔底的俯角为
，塔顶的仰角为
，求电视塔的高.（精确到
）
【答案】
【解析】
设人的位置为
，塔底为
，塔顶为，
过作
的垂线，垂足为，
则
，
，
，
，
所以
，
答：电视塔的高为约.考点点睛：解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解满足条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形．
考点5、测量角度问题
例5．【上海市宝山区宝山中学2017-2018学年高一下学期期中】如图，当甲船位于处时获悉，在其北偏东
方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西
，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到
）？
【答案】60°
【解析】
由题意：
，即
，
，
，
∴
，
，
∴CB方向是北偏东60°。即乙船应朝北偏东60°的方向沿直线前往处救援。考点点睛：航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
考点6、不确定航向的角度问题
例6．已知A码头在B码头的南偏西75°处，两码头相距300海里，甲、乙两船同时分别由A码头和B码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40海里/小时，如果两船出发后5小时相遇，求甲船的航行方向和速度.（保留1位小数）
【答案】方向为北偏东
；
（海里/小时）.
【解析】
设甲、乙两船在C处相遇，则
，
由余弦定理得
，
所以
，则
（海里/小时）.
由正弦定理得
所以方向为北偏东.
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