2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题04数列的概念与简单表示法
【知识导图】
【目标导航】
1.理解数列的概念、表示、分类；
2．理解数列的通项公式及其简单应用；
3．能根据数列的前几项写出一个通项公式.
4.理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的前几项，并能归纳出数列的通项公式；
5．体会递推公式是表示数列的一种方法.
【重难点精讲】
重点一、数列的概念
按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an…，简记为{an}．
注意：
(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．
(2)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．
(3){an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．
(4)数列的简记符号{an}，不能理解为集合{an}，其区别如下表：
|
|
数列 |
集合 |
示例 |
|
区 别 |
数列中的项是有序的，两组相同的数字，按照不同的顺序排列得到不同的数列 |
集合中的元素是无序的 |
如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合 |
|
|
数列中的项可以重复出现 |
集合中的元素满足互异性，不能重复出现 |
如数列1,1,1，…每项都是1，而集合则不可以 |
重点二、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式.
注意：①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式，即an＝f(n)．
②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．
③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．
重点三、数列的分类：
(1)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an＋1>an(n＝1,2,3…)．
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an＋1<an(n＝1,2,3…)．
各项相等的数列叫做常数列．
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
重点四、如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，如a1＝1，an＋1＝an＋2就是数列{an}的一个递推公式．
重点五、给出递推公式及初始值的数列，例如：an＋1＝an＋an－1，a1＝a2＝1，这样给出的数列是一个确定的数列，即递推公式也是给出数列的一种方法．
【典题精练】
考点1、数列的概念及分类
例1．【2016-2017学年安徽六安一中高二上文周末检测】已知
，那么数列
是（ ）
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】B
【解析】
数列是递增数列，故选B．考点点睛：解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．
考点2、已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式
例2．已知数列
中，
.
（1）写出数列的前5项.
（2）猜想数列的通项公式，并验证所猜的通项公式满足所给的递推公式.
【答案】（1）
；
，
，
，
.（2）猜想
，验证见解析
【解析】
（1），
，
，
，
.
（2）猜想.
显然，当
时，；
当
时，
，
∴ 
.考点点睛：根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等)的联系．
考点3、数列通项公式的应用
例3．在数列中，
.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【答案】（1）是，
；（2）
【解析】
（1）令
，
解得
或
（舍去）.所以
（2）
，
由于
，所以最大项为考点点睛：判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
①将所给项代入通项公式中；
②解关于n的方程；
③若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．
考点4、求数列的最大(小)项的方法
例4．已知数列{an}的通项公式为an＝
则数列{an}中的最大项为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解法一 an＋1－an＝(n＋1)
n＋1－nn＝
·n，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.
所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝
.故选A.
解法二 
＝
＝
，
令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，
故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.考点点睛：求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an－1(an≤an＋1)来确定n，求最大项可由an≥an－1(an≥an＋1)来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项，若数列的项是正负交替出现的，求最大(或小)项，应在其正(或负)项中找．
考点5、由数列的递推公式求项、归纳通项公式
例5．已知无穷数列
（1）求这个数列的第10项.
（2）
是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）是否有等于序号的
的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由.
【答案】（1）
；（2）第100项；（3）4个；（4）有，
【解析】
（1）将代入
，得第10项为
，即；
（2）设
，解得
，是第100项；
（3）设
，变形得
，
可取的值有2，3，4，7，即有4个整数项；
（4）设
，解得
（舍）或
，此时
，所有等于序号的的项，且为考点点睛：由递推公式写出通项公式的步骤：(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．(3)归纳总结写出一个通项公式．
考点6、由递推公式求通项公式的方法
(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式．
(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式．
(3)已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式an.
例6．【湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末】在数列中，，且对于任意自然数
，都有
，则
________．
【答案】
【解析】
对于任意自然数，都有，则
，
，
，
，
，
.
上述等式全部相加得
，
因此，
，故答案为：.
考点点睛：(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式．
将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式．
将原递推公式转化为an(an＋1)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a1(a2)＝f(1)，a2(a3)＝f(2)，…，an－1(an)＝f(n－1)，累乘可得a1(an)＝f(1)f(2)…f(n－1)．
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