2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题02余弦定理
【知识导图】
【目标导航】
1.会用向量法证明余弦定理；
2．记住余弦定理及其推论，并能用它们解决一些简单的三角度量问题．
【重难点精讲】
重点一、余弦定理
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文字语言 |
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 |
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符号语言 |
在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC |
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推论 |
在△ABC中， cosA＝2bc(b2＋c2－a2)，cosB＝2ac(c2＋c2－b2) cosC＝2ab(a2＋b2－c2) |
重点二、利用余弦定理及其推论解三角形的类型
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角．
重点三、余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；
a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角；
a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角.
【典题精练】
考点1、已知两边及一角解三角形
例1．在
中，已知
，
，
，那么c等于（）．
A．
B．
C．3 D．
【答案】A
【解析】
因为，，，
由余弦定理可得：
，
所以
.
故选A考点点睛：已知两边及一角解三角形的方法：
(1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；
(2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便．
考点2、已知三边解三角形
例2．【上海市延安中学2015-2016学年高一下学期期中】在
中，已知
，
，
，则角
的大小为__.
【答案】
【解析】
∵在中，，，
∴由余弦定理可得
，
∵
，∴
.
故答案为：.考点点睛：已知三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．
考点3、判断三角形的形状
例3．【山西省芮城中学2016-2017学年高一下学期期末】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
若
，则的形状是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且b2+c2＝a2+bc．
则：
，
由于：0＜A＜π，
故：A
．
由于：sinBsinC＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，
所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，
所以：△ABC为等边三角形．
故选C．
考点点睛：已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．
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