2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题12基本不等式
【知识导图】
【目标导航】
1.记住基本不等式；
2．会用基本不等式证明简单的不等式；
3．会用基本不等式求代数式的最值.
【重难点精讲】
重点一、重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
重点二、基本不等式
当a>0，b>0时有≤2(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立．
重点三、基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
重点四、基本不等式与最值
()⇒xy≤4(s2)(当且仅当x＝y时取等号)
()⇒x＋y≥2(当且仅当x＝y时取等号)
【典题精练】
考点1、利用基本不等式求函数的最值
例1．函数
的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
∵
，
∴
．
∴
，当且仅当
，即
时等号成立．
∴函数的最小值为4．
答案：4
考点点睛：1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式2(a＋b)≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式．
考点2、变形技巧：“1”的代换
例2．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中】若正数a，b满足
，则
的最小值为
A．
B．
C．8 D．9
【答案】D
【解析】
，
，且，
则
，
当且仅当
即
，
时取等号．
故选D．
考点点睛：1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．
2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求x(1)＋y(2)的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形x(1)＋y(2)＝(x(1)＋y(2))·1＝(x(1)＋y(2))·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求x(3)＋y(2)的最值时，可利用x(3)＋y(2)＝3(1)(x(3)＋y(2))(2x＋y)变形．
3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．
考点3、忽视等号成立的条件而致误
例3．已知正数x、y满足x＋2y＝1，求x(1)＋y(1)的最小值．
【答案】3＋2
【解析】
[错解]由1＝x＋2y≥2，得xy(1)≥2，
∴x(1)＋y(1)≥2xy(1)＝xy(2)≥4，即x(1)＋y(1)的最小值为4．
[辨析]两个等号不能同时取到，前一个不等式等号成立的条件是x＝2y＝2(1)，后一个不等式等号则是当x＝y时成立．
[正解]∵x、y为正数，且x＋2y＝1．
∴x(1)＋y(1)＝(x＋2y)(x(1)＋y(1))＝3＋x(2y)＋y(x)≥3＋2，当且仅当x(2y)＝y(x)，即当x＝－1，y＝1－2(2)时等号成立．
∴x(1)＋y(1)的最小值为3＋2．
考点4、利用基本不等式比较数的大小
例4．已知m＝a＋a－2(1)(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m、n之间的大小关系是 ．
【答案】m>n
【解析】
∵a>2，∴a－2>0.又∵m＝a＋a－2(1)＝(a－2)＋a－2(1)＋2，
∴m≥2a－2(1)＋2＝4，即m∈[4，＋∞)．
由b≠0，得b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴n∈(0,4)．综上易得m>n．
考点5、不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
例5．已知
是全不相等的正实数，证明：
.
【答案】详见解析
【解析】
（方法一） ∵a,b,c全不相等，∴
全不相等
∴
＞2，
＞2，
＞2
三式相加得，
＞6
∴
＞3
即
＞3
（方法二）要证＞3
只需证明
＞3
即证＞6
而事实上，由a,b,c是全不相等的正实数，
∴＞2，＞2，＞2
∴＞6
∴＞3得证
考点点睛：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．
考点6、求参数的取值范围问题
例6．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知
，
，
，若不等式
对已知的
，
及任意实数
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∵
，
当且仅当
时等号成立，
∴
，即
，
∴
.
故选：D
考点点睛：1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；
2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．
考点7、均值不等式在实际问题中的应用
例7．如图，金砂公园有一块边长为
的等边
的边角地，现修成草坪，图中
把草坪分成面积相等的两部分，
在
上，
在
上.
（Ⅰ）设
，
，求
关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，且
.
【解析】
（Ⅰ）在
中，
①，
又
，即
，即
②，
将②代入①，得
，
又
，若
，则
不符合题意，所以
，
因此；
（Ⅱ）如果是水管，
因为
，
当且仅当
，即
时“＝”成立，
故，且.
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