2019-2020学年高中数学必修知识讲学
专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.【2015-2016学年贵州省凯里一中高一下期中】不等式组,表示的平面区域为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式表示的平面区域为直线的左下方部分,不等式所表示的平面区域为直线的左上方部分,所以不等式组所表示的平面区域为选项B所表示的区域,故选B.2.设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9
【答案】A
【解析】
作出不等式组表示的可行域,
结合目标函数的几何意义得函数在点B(-6,-3)处取得最小值
zmin=-12-3=-15.
故选:A3.【广西玉林市2018-2019学年高一上学期期末】若实数,满足约束条件则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的几何意义为点与点所在直线的斜率.
画出如图的可行域,当直线经过点时,;当直线经过点时,.
的取值范围为,故选A.
4.【江西省景德镇一中2018-2019学年高一上学期期末】设,满足约束条件,则的最小值与最大值分别为( )
A., B.2, C.4,34 D.2,34
【答案】D
【解析】
由,满足约束条件表示的可行域如图,
由,解得.
的几何意义是点到坐标原点的距离的平方,
所以的最大值为,
的最小值为:原点到直线的距离.
故选:D.5.【广西百色市2017-2018学年高一下学期期末】若变量满足约束条件,则的最大值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由约束条件得如图所示的三角形区域,
由可得,
,将变形为,
平移直线,
由图可知当直经过点时,
直线在轴上的截距最小,最大,
最大值为,故选C.6.【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组表示一个三角形内部的区域,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
不等式组表示的平面区域如图:
由图可知,,解得x=y=,
即A(,),
则a<+=
实数a的取值范围是a<.
故选:D.7.【天津市部分区2019届高三联考一模】设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是( )
A.7 B.5 C.3 D.2
【答案】B
【解析】
画出约束条件,表示的可行域,如图,
由可得,
将变形为,
平移直线,
由图可知当直经过点时,
直线在轴上的截距最大,
最大值为,故选B.8.【安徽省池州市2018-2019学年高一下学期期末】已知实数满足,则的最大值是
A. B. C.3 D.5
【答案】C
【解析】
由题意,作出线性约束条件表示的可行域,如图所示,
表示三角形阴影部分区域(含边界),
设直线,平移直线时,目标函数取得最大值,
又由,解得,
此时目标函数的最大值为.
故选C.
9.若实数满足不等式,且的最大值为9,则实数( )
A. B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】
作出满足题设条件的可行域如图所示,设x+y=9,
显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求.
联立方程组解得
即点A(4,5)在直线x-my+1=0上,
∴4-5m+1=0,得m=1.
故答案为1.10.【福建省三明市2017-2018学年高一下学期期末】已知满足约束条件且不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示,可行域内的点恒满足,
则不等式即恒成立,
即,令可知:恒成立,即恒成立.
其中表示坐标原点与可行域内点连线的斜率,如图所示,在点A和点C处目标函数取得最值,据此可知:.
结合对勾函数的性质可知,当时,取得最小值,此时,即取得最大值,最大值为:,
结合恒成立的条件可知:实数的取值范围为.
.
11.【江西省樟树中学2017-2018学年人教A版高一下学期第一次月考】点在圆上运动,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
点为圆上的点,如图所示,设直线与圆相切,
则圆心到直线的距离为,即:,
据此可得:,
当时,目标函数的值为,否则:
目标函数:,
令,则,
结合对勾函数的性质可得:,
结合反比例函数的性质可得目标函数的取值范围是,
综上可得,目标函数的取值范围是.
本题选择D选项.12.【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期末】已知实数满足,则的最大值为( )
A.8 B.2 C.4 D.6
【答案】D
【解析】
设,,
均在圆上,且,设的中点为,则点到原点的距离为,
点在圆上,设到直线的距离分别为,
,
,.
13.已知变量满足条件,若目标函数仅在点(3,3)处取得最小值,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
变量满足的条件对应的平面区域如图所示:因为目标函数z=x+y,
仅在(3,3)处取得最小值,所以目标函数z=x+y的位置应如图所示,故其斜率需满足 k=﹣>1⇒<﹣1.
故答案为<﹣1.
14.【安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】不等式组所表示的平面区域的面积等于,则__________.
【答案】1
【解析】
∵不等式组所表示的平面区域三角形,如图:
平面为三角形所以过点(2,0),
∵y=kx﹣1,与x轴的交点为(,0),
y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为(),
三角形的面积为:=,
解得:k=1.
故答案为:1.15.【河南省安阳一中、安阳正一中学2018届高三第十一次模拟】已知满足条件,若目标函数取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为__________.
【答案】或.
【解析】
画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示
将转化为,所以目标函数代表直线在轴上的截距
若目标函数取得最大值的最优解不唯一
则直线应与直线或平行,如图中虚线所示
又直线和的斜率分别为和
所以或
故答案为:或.
16.【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若满足约束条件,的最小值为,则________.
【答案】4
【解析】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:
取最小值时,即在轴截距最小
平移直线可知,当过点时,在轴截距最小
由得:
,解得:
本题正确结果:17.某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本元,运费元,可生产产品;若采用乙种原料,每吨成本元,运费元,可生产产品.若每日预算总成本不得超过元,运费不得超过元,则此工厂每日最多可生产多少千克产品?
【答案】
【解析】
设工厂每日需用甲原料吨,乙原料吨,可生产产品千克,
根据题意可知,变量、所满足的约束条件为,
即,
目标函数为,作直线,
作一组直线平行的直线,
当直线经过点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.
答:工厂每日最多生产千克产品.18.已知实数、满足,当时,求的最值.
【答案】当时,,;
当时,,.
【解析】
①当时,如下图所示:
平移直线,当该直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即,当该直线经过点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即;
②当时,平移直线,当该直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即,当该直线经过点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.
综上所述:当时,,;
当时,,.
19.已知x,y满足约束条件当3≤s≤5时,求目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围.
【答案】
【解析】
由可得 可化为.
当时,作出可行域,如图①中阴影部分所示,
图①
其中,,,易知当直线经过点时,取得最大值,,.
当时,作出可行域,如图②中阴影部分所示,其中,,
图②
易知当直线经过点时,取到最大值,.综上所述,.20.若,满足约束条件.
(1)求目标函数的最值;
(2)求目标函数的最值.
【答案】(1)最大值为4,最小值为0;(2)最大值为,最小值为。
【解析】
画出约束条件表示的可行域如图所示,
(1)的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍.
由解得.
由图可知,的最大值为点到直线的距离的倍,即为4;
易知最小值为0.
(2)的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方.
由图可知,点到点的距离的平方即为最大值,为;
最小值是点到直线的距离的平方,为.
所以的最大值为,最小值为.21.【吉林省长春外国语学校2016-2017学年高一下学期期末】已知不等式组,
求此不等式组表示的平面区域的面积;
求的最大值;
求的取值范围.
【答案】(1)36;(2)15;(3).
【解析】
作出平面区域如图.
交点,
(1).
(2)由,得,由图可知当直线过点时,截距最小,即最大,此时.
(3)可以看作和两点间的斜率,故其范围是.22.【吉林省长春外国语学校2016-2017学年高一下学期期末】已知不等式组,
求此不等式组表示的平面区域的面积;
求的最大值;
求的取值范围.
【答案】(1)36;(2)15;(3).
【解析】
作出平面区域如图.
交点,
(1).
(2)由,得,由图可知当直线过点时,截距最小,即最大,此时.
(3)可以看作和两点间的斜率,故其范围是.
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