2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
【知识导图】
【目标导航】
1.知道二元一次不等式的几何意义；
2．会画二元一次不等式表示的平面区域；
3．能用平面区域表示二元一次不等式组.
4.知道线性规划的意义，掌握有关概念术语，能正确利用图解法中的求解程序，解决线性规划问题；
5．能用线性规划知识解决一些简单的实际问题.
【重难点精讲】
重点一、二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合．
重点二、平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域不包括边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取原点(0,0)作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．
重点三、线性规划中的基本概念
|
名称 |
意义 |
|
约束条件 |
变量x，y满足的一组条件 |
|
线性约束条件 |
关于x，y的二元一次不等式 |
|
目标函数 |
欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式 |
|
线性目标函数 |
目标函数是关于x，y的一次函数解析式 |
|
可行解 |
满足线性约束条件的解 |
|
可行域 |
所有可行解组成的集合 |
|
最优解 |
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 |
|
线性规划问题 |
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 |
重点四、线性规划常用来解决下列问题：
(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大．
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调运、产品安排、下料等问题．
重点五、最优解常转化为由目标函数得到的直线到原点距离的最值来考虑．(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小))
【典题精练】
考点1、二元一次不等式表示的平面区域
例1．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】已知点
及其关于原点的对称点均在不等式
表示的平面区域内，则实数
的取值范围是____．
【答案】
【解析】
根据题意，设
与关于原点的对称，则的坐标为
，
若
、均在不等式表示的平面区域内，则有
，
解可得：
，即的取值范围为
，
；
故答案为，．
考点点睛：由于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点(x0，y0)，把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
考点2、二元一次不等式组表示的平面区域
例2．画出下列不等式（组）表示的平面区域：
（1）
.
（2）
.
（3）
（4）
.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析.
【解析】
（1）画出平面区域如下图所示：
（2）画出平面区域如下图所示：
（3）画出平面区域如下图所示：
（4）原不等式等价于
或
.故画出平面区域如下图所示：
考点点睛：1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判断．
考点3、用二元一次不等式组表示已知平面区域
例3．如图，在
中，已知点
.写出区域所表示的二元一次不等式组.
【答案】
【解析】
阴影部分在直线
的左下方，故
；在直线
的右上方，故
；在直线
的右下方，故
.所以二元一次不等式组为
.
故填：.
考点点睛：已知平面区域，用不等式(组)表示，其一般步骤是
①求出边界的直线方程；
②确定不等号，从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号．
考点4、求线性目标函数的最值问题
例4．【2019年天津市高考数学】设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．
目标函数的几何意义是直线
在
轴上的截距，
故目标函数在点
处取得最大值．
由
，得
，
所以
．
故选C．
考点点睛：
(1)解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)要注意直线斜率的大小．
考点5、简单的线性规划中的整数解
例5．求满足
的整点
的个数.
【答案】25
【解析】
当
时，不等式，即
表示的区域是直线
有原点的一侧（即
与
轴正半轴围成的区域）.
利用对称性，不等式表示的区域是4条直线，
，
，
所围成的正方形（包括边界）.
当
时，整点在x轴上，从点
到点
共7个；当
时，整点从点（-2，1）到点
共5个；同理，当
时，整点有3个；当
时，整点有1个，根据对称性，满足的整点个数为：
.
考点点睛：在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答．
考点6、非线性目标函数的最值问题
例6．已知
、满足约束条件
.
（1）求目标函数
的最大值与最小值；
（2）求目标函数
的最大值与最小值；
（3）求目标函数
的取值范围；
（4）求目标函数
的取值范围.
【答案】（1）最大值
，最小值
；（2）最大值
，最小值
；（3）
；（4）
.
【解析】
解约束条件中不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）为可行域.
（1）由图可知，当直线，即直线
过点
时，该直线在轴上的截距最大，此时，
取最大值
，当直线过点时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值
；
（2）由图可知，当直线，即直线
过点时，该直线在轴上的截距最大，此时，取最大值
，当直线过点
时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值
；
（3）设点
，则
表示可行域内任一点到原点距离的平方.由图可知，其最大值为
.
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，
，故其最小值为
，因此，的取值范围为；
（4）令点，则表示可行域内任一点与点
连线的斜率
.当直线
过点时，此时直线的倾斜角取得最小值，此时，取最小值
，当直线过点时，此时，直线的倾斜角最大，此时，取最大值
，因此，的取值范围是.
考点点睛：求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系．
考点7、已知目标函数的最值求参数
例7．设
，其中实数、满足
，若的最大值为
，求实数
的值.
【答案】
【解析】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示，阴影部分（包括边界）.
由，得
，可知为直线在轴上的截距.
由图象可知，当直线经过点
和可行域的顶点
时，
直线在轴上的截距取到最大值，此时
，因此，.
考点8、收益最大问题(利润、收入、产量等)
例8．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要
三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有种原料 200 吨， 种原料 360 吨，种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
|
原料 肥料 |
|
|
|
|
甲 |
4 |
8 |
3 |
|
乙 |
5 |
5 |
10 |
【答案】（1）见解析；（2）最大利润为112万元
【解析】
（1）解：由已知，
满足的数学关系式为
，该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中的阴影部分：
（图 1）
（2）解：设利润为
万元，则目标函数为
.考虑z=2x+3y，将它变形为
，这是斜率为
，随变化的一族平行直线.
为直线在
轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点
时，截距最大，即最大.解方程组
，得点的坐标为
，所以
.
答：生产甲种肥料
车皮、乙种肥料
车皮时利润最大，且最大利润为
万元.
（图 2）
考点点睛：解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来处理．
(2)转化——设出未知量，由条件列出约束条件确立目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．
(3)作图——作出可行域，求出可行域边界点的坐标．
(4)求解——利用图形法求出最优解和最值．
(5)作答——就应用题提出的问题作出回答．
几个注意点：(1)列不等式组时，要特别注意表达不等关系的词语(如不超过，不大于，最少等)；(2)平移直线时，特别注意斜率大小与直线的倾斜程度，准确找出最优解对应直线的位置；(3)将求解得到数学结论转化为实际问题的结论．
考点9、耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
例9．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？
【答案】甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少．
【解析】
设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，
那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)(万元)，
即z＝780－0.5x－0.8y.
x、y应满足
作出上面的不等式组所表示的平面区域如图所示．
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，
则M(0,280)，把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(0,280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少．
考点点睛：求最优解时，常常要考虑直线的位置，精确作图又比较麻烦，这时可通过比较直线的斜率来判断其位置．
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