2019-2020学年高中数学必修知识讲学
专题10一元二次不等式及其解法
1．【内蒙古集宁一中2018-2019学年高二上学期期末】一元二次不等式
的解集是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令
，解得：
，
所以
的解集为：
故选：A．2．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】关于
的不等式
(
)的解集为
,且
,则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
，
所以
，
即
，
又
，
所以
，
解得
．3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
依题意，不等式化为
，
解得﹣1＜x≤2，
故选D．4．【福建省厦门六中2018-2019学年高二（上)期中】若不等式
的解集
，则
值是
A．0 B．
C．1 D．2
【答案】A
【解析】
由题意，可得不等式
的解集是，
所以
是方程
的两个根，
所以可得
，
，
解得
，
，所以
，
故选：A．5．【辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期中】已知不等式
的解集为
,则不等式
的解集为( )
A．
或
B．
C． D．
或
【答案】A
【解析】
的解集为
,
的根为
，
即
，
，
解得
，
则不等式可化为
，
即为
，
解得
或
，故选A.6．关于的不等式
的解集为
或
，则关于的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意分析，知方程
的两根为-1和3，
所以
或
，解得
，
则不等式为
，解得
，
即不等式的解集为.
故选：A7．当
时，若关于的不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
原不等式可化为
，
由题意，可知只需当时，小于
的最大值，
又
对称轴为
，开口向上，
所以当
时，单调递减；
当
时，单调递增；
因为
，
，
易得当时，的最大值是-4，所以
.
故选：A8．若关于的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围为（）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】D
【解析】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴
，
解得：且k≠2．
故选D．9．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】若不等式
的解集是
的子集，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由得
，
若
，不等式等价解为
即解集为{1}满足
，
若
，不等式等价解为
即解集为
，若满足
，
则
，
若
，不等式等价解为
即解集为
，若满足
，
则
，
综上
，即实数a的取值范围是，
故选：B．10．【四川省宜宾市2017-2018学年高一上学期期末】当
时,不等式
恒成立，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令
，
则不等式恒成立转化为
在上恒成立，
则
，整理得
，
解得
或
，所以实数的取值范围是，故选A.11．【山东省泰安市第四中学2019-2020学年高一上学期第一次月考】在
上定义运算
：
，若不等式
对任意的实数
恒成立，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
对于任意的实数恒成立,
,即
恒成立,
,
故选：C12．若关于的不等式
的解集中，恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ）.
A．
B．
或 
C．
D．
或 
【答案】D
【解析】
由题意，原不等式等价于
，
又由不等式解集中恰有3个整数，
当
时，不等式的解集为
，此时解集中的整数为
，则
；
当
时，不等式的解集为
，此时解集中的整数为
，则
，
所以实数得取值范围是或.
故选D.13．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是________．
【答案】
【解析】
由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为（20
t）万亩，
则税收收入为（20t）×24000×t%．
由题意（20
t）×24000×t%≥9000，
整理得t2﹣8t+15≤0，解得3≤t≤5．
∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．
∴t的范围是[3，5]．
故答案为:[3,5]14．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式
的解集是______.
【答案】
或
【解析】
不等式等价为
且
，
∴
或
，
∴不等式的解集是或
故答案为：或15．若不等式组
的整数解只有－2，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
不等式
的解集为
，
不等式
可转化为：
，
根据已知条件不等式组的整数解只有
，
不等式的解集为
，
再借助数轴可得的取值范围为
，解得
，
综上k的取值范围是，故答案为．16．【2018年全国普通高等学校招生统一考试】已知
，函数
若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤
恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
分类讨论：①当
时，
即：
，
整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
时，
，则
；
②当
时，即：
，整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
或
时，
，则
；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.17．【江苏省连云港市2018~2019学年度高一第二学期期末】设
．
（1）若不等式
对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式
（
R）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于
对于一切实数恒成立．
当
时，不等式可化为
，不满足题意；
当
时，满足
，即
，解得．
（2）不等式等价于
．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为
；
当时，不等式可化为
，此时
，
所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
；
③当
时，，不等式的解集为
．18．已知一元二次不等式
的解集为
，且
，求不等式
的解集.
【答案】
或
【解析】
由题意可得，且
，
为方程
的两根，
由根与系数的关系得
，，
由
,得
，
则可化为
.
所以
.
所以
.
，
为方程
的两根.
又，
不等式的解集为或.
即所求不等式的解集为或.19．【安徽省合肥市2018-2019学年高一下学期期中】已知关于的不等式
.
（1）当
时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）
；（2）详见解析
【解析】
（1）当时，不等式
可化为：
不等式的解集为
（2）不等式可化为：
，
（i）当时，
，解得：
不等式解集为
（ii）当时，
，
的根为：
，
①当
时，
不等式解集为
②当
时，
，不等式解集为
③当
时，
不等式解集为
（iii）当时：
此时
不等式解集为
或
20．【辽宁省辽河油田第二高级中学高二上学期数学单元测试】已知函数
，当
时，
；当
时，
.①求
的值；②设
，则当取何值时, 函数
的值恒为负数?
【答案】
.
【解析】
先作出符合条件下函数的大致图象，如图所示，
根据图象列出关于函数解析式的参数a，b的关系式。
∵
又∈（－2，6），
＞0；∈（－∞，－2）∪（6，+∞），＜0。
∴－2和6是方程
的两根。
故
解得 
此时，
.
＝
∴欲使＜0恒成立，只要使
恒成立，则须要满足：
①当
时，原不等式化为
，显然不合题意，舍去.
②当
时,要使二次不等式的解集为
，则必须满足：
， 解得
综合①②得的取值范围为
.21．【2016届上海市闸北区高三上学期期末】有一块铁皮零件，其形状是由边长为
的正方形截去一个三角形
所得的五边形
，其中
，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮
，使得矩形相邻两边分别落在
上，另一顶点
落在边
或
边上.设
，矩形的面积为
.
（1）试求出矩形铁皮的面积
关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【答案】（1）
，定义域
（2）先在DE上截取线段
，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大.
【解析】
（1）依据题意并结合图形,可知：
①当点落在线段上
即
时,
；
②当点在线段上,
即
时,由
,
得
.
于是
.
所以
,
定义域.
（2）由（1）知,当时,
；
当
时,
当且仅当
时,等号成立.
因此,y的最大值为
.
答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为
.22．【上海市卢湾高级中学2016届高三上学期10月段考】如图，建立平面直角坐标系
，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为
，求的最小值.
【答案】（1）10千米；（2）
.
【解析】
（1）在
中，令
，得
.
由实际意义和题设条件知，
.
∴
，当且仅当
时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
（2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴
，
∴
.
，
∴
，
∴
，
又在
上单调递增，
∴的最小值为.
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