2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）
专题10一元二次不等式及其解法
【知识导图】
【目标导航】
1.了解一元二次不等式的概念；
2．掌握一元二次不等式的解集，会解一元二次不等式；
3．会解能化为一元二次不等式的分式不等式；
4．理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系.
5.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题；
6．会解含参数的一元二次不等式.
【重难点精讲】
重点一、一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
重点二、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系
(1)一元二次不等式的解集的概念：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
(2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；
若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．
(3)三个“二次”之间的关系：
|
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac |
||||
|
|
判别式Δ ＝b2－4ac |
Δ>0 |
Δ＝0 |
Δ<0 |
|
解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 |
求方程f(x)＝0的解 |
有两个不等的实数解x1，x2 |
有两个相等的实数解x1＝x2 |
没有实数解 |
|
画函数y＝f(x)的示意图 |
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|
|
|
|
得不 等式 的解 集 |
f(x)>0 |
{x|x<x1 或x>x2} |
{x|x≠－2a(b)} |
R |
|
f(x)<0 |
{x|x1<x<x2} |
∅ |
∅ |
|
重点三、分式不等式的解法
①x＋3(x＋1)>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？
②x＋2(2x－1)≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？
定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.
解法：等价转化法解分式不等式
()()gx(fx)>0⇔f(x)g(x)>0，()()gx(fx)<0⇔f(x)·g(x)<0.
()()gx(fx)≥0⇔()()()gx≠0.(fxgx ≥ 0，)
⇔f(x)·g(x)>0或()()gx≠0(fx＝0).
()()gx(fx)≤0⇔()()()gx≠0(fx·gx ≤ 0，)⇔f(x)·g(x)<0或()()gx≠0.(fx＝0)
重点四、简单的高次不等式的解法
(1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,1<x<2，x<1不同情形下，y值的符号变化情况．
(2)考查函数y＝(x－1)2(x＋3)，当x<－3，－3<x<1，x>1时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
【典题精练】
考点1、一元二次不等式的解法
例1．求下列不等式的解集.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
【解析】
（1）因为
，
所以原不等式等价于
，
解得
，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为
,配方得 
,
又
,所以
,
解得
，
.所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为
，
因为
恒成立，
所以原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为
，
因为
恒成立，
所以原不等式无解，
即原不等式的解集为.
考点点睛：解一元二次不等式的一般步骤：
第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
考点2、“三个二次”关系的应用
例2．已知不等式
的解集为
或
.
（1）求
；（2）解关于
的不等式
【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．
【解析】
（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，
所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；
由根与系数的关系，得
，
解得a＝1，b＝2；
（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，
即（x﹣2）（x﹣c）＜0；
①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．
考点点睛：1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．
考点3、一元二次不等式的实际应用
例3．【2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟】某辆汽车以
公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求
)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为
升.
(1)欲使每小时的油耗不超过
升,求的取值范围;
(2)求该汽车行驶
公里的油耗
关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.
【答案】（1）
;（2）=
,(其中); 最小值为
升.
【解析】
（1）由题意,令
,
化简得
,解得
;
又因为,
所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;
（2）设该汽车行驶公里的油耗为;
则
=,(其中);
由,知
,
所以=
时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.
考点4、含参数的一元二次不等式的解法
例4．【广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末】解关于的不等式
.
【答案】a＜0时，不等式的解集是（
，1）；
a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
时，不等式的解集为
.
时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；
a＞1时，不等式的解集是（﹣∞， ）∪（1，+∞）．
【解析】
当
时，原不等式可化为
，所以原不等式的解集为
.
当
时，判别式
.
（1）当时，判别式
，原不等式可化为
，
即
，所以原不等式的解集为.
（2）当
时，原不等式可化为
，此时
，所以原不等式的解集为
.（3）当时，原不等式可化为
，
此时
，所以原不等式的解集为
.
（4）当
时，原不等式可化为，此时，
所以原不等式的解集为
.
综上，a＜0时，不等式的解集是（，1）；
a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
时，不等式的解集为.
时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；
a＞1时，不等式的解集是（﹣∞， ）∪（1，+∞）．
考点点睛：解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
考点5、分式不等式的解法
例5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一上学期期中】解关于的不等式
【答案】见解析
【解析】
原不等式等价于
(1)当时，解集为
(2)当时，原不等式可化为
，
因为
，所以解集为
(3)当
时，
，解集为
(4)当
时，原不等式等价于
，即
，
解集为
(5)当
时，，解集为
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当
时，解集为；当时，解集为
考点点睛：
1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
考点6、简单高次不等式解法
例6．【上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期第一次月考】关于的不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】
原不等式等价于
，如下图所示：
由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为.
故答案为：.
考点点睛：穿根法求高次不等式的解集：
(1)求解过程概括为：⇒⇒⇒⇒(注意端点值能否取到)．
(2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值．
(3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回．
考点7、不等式恒成立问题
例7．已知函数
对任意实数 恒成立，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
①当
，
或
.
若，则函数化为
，对任意实数不可能恒大于0.
若，则
恒成立.
②当
时，根据题意有
∴
∴
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为
考点点睛：1．一元二次不等式恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足Δ<0(a>0)；
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足Δ≤0(a>0)；
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足Δ<0(a<0)；
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足Δ≤0(a<0).
2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．
设f(x)的最大值为M，最小值为m.
(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.
(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.
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