2019-2020学年高中数学必修知识讲学
专题12基本不等式
1．下列结论正确的是（ ）
A．当
且
时,
B．当时,
C．当
时,
的最小值是2 D．当
时,
无最大值
【答案】B
【解析】
A．当1＞x＞0时，lgx＜0，lgx
2不成立；
B．当时,，正确；
C．当x≥2时，x
2，不成立；
D．当0＜x≤2时，函数y＝x
单调递增，当x＝2时，有最大值2
，不正确．
故选B．2．若正实数
满足
，则（ ）
A．
有最大值4 B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】C
【解析】
因为正实数
，
满足
，所以
，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得
，故
有最大值，故B不正确；由于
，故由最大值为，故C正确；
，故由最小值
，故D不正确．3．【海南省海南中学2018-2019学年高一下学期期中】，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．16 C．3 D．
【答案】A
【解析】
，，
当且仅当
，即
时取等号
故选：
4．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期末】若实数
满足
，则的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,
，
，
解得
，
，
的最大值是
.
故选B.5．【湖北省第五届高考测评活动2019-2020学年高一上学期期末】若不等式
对
恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
将不等式化为
，只需当时，
即可，
由
，
当且仅当
时取等号，故
,故m的最大值为9.
故选：C 
6．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以，
，
则
，
所以，
，
当且仅当
，即当
时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选
．7．若直线
（
）始终平分圆
的周长，则
的最小值为（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】D
【解析】
由圆的性质可知，直线
，
是圆的直径所在的直线方程，
圆的标准方程为：
圆心
在直线上，
，即，
，
的最小值为，故选D.8．【北京东城崇文门中学2017届高三上学期期中】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10 B．11
C．13 D．21
【答案】A
【解析】
由题意可知：每年的维护费构成一个以
为首项，为公差的等差数列，
故第
年的维护费为：
，
总的维护费为：
，
故年平均费用为：
，
即
，（为正整数）；
由基本不等式得：
（万元），
当且仅当
，
即
时取到等号，即该企业
年后需要更新设备．
故选
．9．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019-2020学年高一上学期期末】已知不等式
对任意实数、
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B． C．
D．
【答案】C
【解析】
.
若
，则
，从而
无最小值，不合乎题意；
若
，则
，
.
①当
时，无最小值，不合乎题意；
②当
时，
，则不恒成立；
③当
时，
，
当且仅当
时，等号成立.
所以，
，解得
，因此，实数的最小值为.
故选：C.10．【上海市市北中学2017-2018学年高一上学期期中】设
，当
时，
恒成立，则的最小值是（ ）
A．
B．1 C．
D．2
【答案】A
【解析】
由题意可知：，
∵，，
∴
，
当且仅当
时，等号成立，
要使恒成立，则
，
即
∴
，即
，
∴的最小值是
故选：A11．若正数a,b满足a+b=2,则
的最小值是( )
A．1 B．
C．9 D．16
【答案】B
【解析】
∵
，∴
，
又∵，
，
∴
，
当且仅当
，
即
，
时取等号,
的最小值是
,故选B.12．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】若两个正实数，满足
，并且
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为，所以
.
所以
.
当且仅当
，即
，
时等号成立，
若使得恒成立
则需
，即
，解得
.
所以实数的取值范围是.
故选：D13．【上海市上海交通大学附属中学2016-2017学年度高一上学期期末】已知x，
，且
，那么
的最小值是______.
【答案】16.
【解析】
当
，
即
时等号成立，
的最小值是16.
故答案为：1614．【浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末】已知
，且
，
，则
的最小值为______，
的最小值为______..
【答案】
【解析】
因为
，所以
，因
，故
．
，当
时，
有最小值且为．
，故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为．
综上，填，．15．【湖南省湘西州2018-2019学年高二（上)期末】已知两个正数
满足
,则使不等式
恒成立的实数的范围是__________
【答案】
【解析】
由题意知两个正数x，y满足，
则
，当
时取等号；
的最小值是，
不等式
恒成立，
．
故答案为．16．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②
+
≤
； ③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;
.
【答案】①③⑤
【解析】
对于①：因为
，
，所以
，所以
，故①项正确；
对于②：左边平方可得：
，所以
，故②项错误；
而利用特殊值
，
代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为
，由①知，所以
，故③项正确；
对于④：
,故④项错误；
对于⑤
+=
=
≥2，故⑤项正确；
故本题正确答案为：①③⑤.17．设
，则，
，
，
，
，
按从小到大顺序排列是______．
【答案】
【解析】
由，可得
，即
，
由基本不等式可得
，即
，
由基本不等式可得
，
，
由，可得
.
所以答案为
.18．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m2.
【答案】
【解析】
设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为
，
又设占地面积为ym2，
依题意，得
，
当且仅当
，即x＝28时，取“＝”．
答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2.
故答案为64819．【山东省枣庄市滕州市滕州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中】2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本
万元，且
.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润
（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）
（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元
【解析】
（1）当
时，
；
当
时，
；
所以
（2）当时，
，
当
时，
；
当时，
.
（当且仅当
即
时，“
”成立）
因为
所以，当时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.20．已知
，试比较
与
的大小．
【答案】答案见解析．
【解析】
因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立．21．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
【答案】（1）S＝38 000＋4 000x2＋
(0＜x＜10
)；（2）至少要投入11.8万元。
【解析】
(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，即y＝
.
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×
y2
＝38 000＋4 000x2＋ (0＜x＜10
)．
(2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2
＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝
时取等号．
因为118 000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．22．已知，，
，求证：
.
【答案】证明见解析；
【解析】
，，，
，
，
均大于0，
又
①，
②，
③，
当且仅当
时，等号成立，
①②③三式相加得
，
.
故不等式得证.
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