2018-2019学年北京市房山区石窝中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法：
①放大（或缩小）的图片与原图片是相似图形；
②比例尺不同的中国地图是相似形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；
④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；
⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的；
其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
3．长度为a的线段AB上有一点C，并且满足AC2＝AB•BC，则AC的长为（ ）
A．
a B．
a C．（
+1）a D．（﹣1）a
4．下列命题：
①所有的等腰三角形都相似；
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
③四个角对应相等的两个梯形相似；
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3下面四个结论：①AO：AC＝1：3；②△ADO∽△CBO；③S△ADO：S△CBO＝1：9；④若△CBO的周长为m，则△ADO的周长为3m，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④
6．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果
＝
，那么
等于（ ）
A． B．
C．
D．
7．如图，P是△ABC的边AC上异于A、C一点，过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（ ）
A．2 B．
C．3或
D．3或
9．如果2：7＝x：4，那么x的值是（ ）
A．14 B．
C．
D．
10．如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（ ）
A．
＝
B．＝
C．
＝
D．＝
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB＝6，BC＝9，则图中线段的长BD＝ ，AD＝ ，AC＝ ．
12．在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2cm，DB＝4cm，AE＝3cm，EC＝1cm，DE＝2.5cm，那么BC＝ cm．
13．若
，则
＝ ．
14．若△ABC∽△DEF，且相似比
，当S△ABC＝6cm2时，则S△DEF＝ cm2．
15．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 米．
16．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝4，BC＝5，AC＝6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 ，△A′B′C′的周长是 ．
三、解答题（17-23题每题6分共42分，24.25每题5分，共10分，合计52分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝BC＝2时，求AD的长；
（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝3，BC＝4时，求AD的长；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
18．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD＝∠B，若 AB＝10，求AC的长．
19．如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线交BC，CD于点E，F，求证：△ABE∽△ACF．
20．如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，
＝
，EF＝2，BF＝1.5．求DF，BC的长．
21．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC．
22．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
23．如图，已知AB、CD交于点O，AO＝4，BO＝2，CO＝6，OD＝3，问△AOD与△COB相似吗？为什么？
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．求证：△ACD∽△BFD．
25．如图，AB＝2AC，BD＝2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．
2018-2019学年北京市房山区石窝中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法：
①放大（或缩小）的图片与原图片是相似图形；
②比例尺不同的中国地图是相似形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；
④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；
⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的；
其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①放大（或缩小）的图片与原图片是相似图形，正确；
②比例尺不同的中国地图是相似形，正确；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形，正确；
④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形，正确；
⑤平面镜中，你的形象与你本人是相同的，正确．
综上所述，正确说法有①②③④⑤共5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似图形，熟记定义是解题的关键．
2．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴AE：AC＝1：3．
故选：B．
【点评】此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．长度为a的线段AB上有一点C，并且满足AC2＝AB•BC，则AC的长为（ ）
A． a B． a C．（ +1）a D．（﹣1）a
【分析】直接利用黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵AC2＝AB•BC，
∴C点为AB的黄金分割点，
∴AC＝AB＝a．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝
AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
4．下列命题：
①所有的等腰三角形都相似；
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
③四个角对应相等的两个梯形相似；
④所有的正方形都相似．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据相似图形的性质以及定义分别判断得出即可．
【解答】解：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；
②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故此选项正确；
③四个角对应相等的两个梯形相似；在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然不相似，故此选项错误；
④所有的正方形都相似，此选项正确．
故正确的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的形状必须完全相同进而判断是解题关键．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3下面四个结论：①AO：AC＝1：3；②△ADO∽△CBO；③S△ADO：S△CBO＝1：9；④若△CBO的周长为m，则△ADO的周长为3m，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④
【分析】由AD∥BC，推出△ADO∽△BCO，根据相似三角形的性质得到AO：OC＝AD：BC＝，S△ADO：S△CBO＝（
）2＝1：9，△CBO的周长：△ADO的周长＝
＝3，于是得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ADO∽△BCO，故②正确；
∴AO：OC＝AD：BC＝，S△ADO：S△CBO＝（
）2＝1：9，故③正确；
∴AO：AC＝1：4，故①错误；
∵△ADO∽△BCO，
∴△CBO的周长：△ADO的周长＝
＝3，
∵△CBO的周长为m，则△ADO的周长为
m；故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果
＝
，那么
等于（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出
＝
，再由角平分线性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴
＝
；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、角平分线的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理和角平分线的性质是解决问题的关键．
7．如图，P是△ABC的边AC上异于A、C一点，过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似，则过P分别作AB与AC的直线截得的三角形都与△ABC相似；根据有两组对应角相等的两三角形相似，则过P作直线交AB于D，且∠APD＝∠B，则△APD∽△ABC；同样过P作直线交BC于E，且∠CPE＝∠B，则△CPE∽△CBA．
【解答】解：根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似，所以过P分别作与AB或AC平行的直线截得的三角形都与△ABC相似；
过P作直线交AB于D，且∠APD＝∠B，则△APD∽△ABC；同样过P作直线交BC于E，且∠CPE＝∠B，则△CPE∽△CBA．如图，
所以过点P可作四条直线所截得的三角形与△ABC相似．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似；有两组对应角分别相等的两三角形相似．
8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（ ）
A．2 B．
C．3或
D．3或
【分析】根据题意，△ADE与△ABC相似，由于题中没有指明对应边，故应该分两种情况讨论求解．
【解答】解：①当△ADE∽△ABC时，有AD：AE＝AB：AC，
∵AB＝6，AC＝4，AD＝2，
∴AE＝
；
②当△AED∽△ABC时，有AD：AE＝AC：AB，
∵AB＝6，AC＝4，AD＝2，
∴AE＝3，
所以AE等于3或．
故选：D．
【点评】此题考查学生对相似三角形的性质的掌握情况，注意分类讨论思想的运用．
9．如果2：7＝x：4，那么x的值是（ ）
A．14 B．
C．
D．
【分析】根据比例的性质（两个内项之积等于两个外项之积）求解．
【解答】解：∵2：7＝x：4的两个内项是7、x，两个外项是2、4，
∴7x＝2×4＝8，
∴x＝
；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，比较简单．
10．如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（ ）
A．
＝ B．＝
C．
＝
D．＝
【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到
；证明
，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB＝6，BC＝9，则图中线段的长BD＝ 4 ，AD＝ 2
，AC＝ 3 ．
【分析】根据射影定理得AB2＝BD•BC，则可计算出BD＝4，再计算出CD＝BC﹣BD＝5，然后根据AD2＝BD•CD计算出AD，利用AC2＝CD•BC计算出AC．
【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴AB2＝BD•BC，即62＝BD•9，解得BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝5，
∵AD2＝BD•CD，
∴AD＝
＝2
，
∵AC2＝CD•BC，
∴AC＝
＝3．
故答案为4，2，3．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
12．在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2cm，DB＝4cm，AE＝3cm，EC＝1cm，DE＝2.5cm，那么BC＝ 5 cm．
【分析】首先根据相似三角形的判定证明△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵AD＝2cm，DB＝4cm，AE＝3cm，EC＝1cm，
∴
＝
，
＝，
∴
，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
，
则BC＝5（cm）．
故答案为5．
【点评】此题综合运用了相似三角形的判定和性质．
相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似；两条对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似；三条对应边的比相等的两个三角形相似．
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
13．若
，则
＝ 5 ．
【分析】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．
【解答】解：设＝t，则
x＝3t，y＝5t，z＝7t．
∴＝
＝5；
故答案是：5．
【点评】本题考查了比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积．解答此题时，采用了代入法．
14．若△ABC∽△DEF，且相似比
，当S△ABC＝6cm2时，则S△DEF＝ 24 cm2．
【分析】由△ABC∽△DEF，且相似比
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得其面积比，又由S△ABC＝6cm2，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比，
∴面积比为：1：4，
∵S△ABC＝6cm2，
∴S△DEF＝4S△ABC＝24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方定理的应用．
15．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 1 米．
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴
，
∴
，
解得：x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
16．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝4，BC＝5，AC＝6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 2：5 ，△A′B′C′的周长是 37.5 ．
【分析】根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再根据周长比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15＝2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．
三、解答题（17-23题每题6分共42分，24.25每题5分，共10分，合计52分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝BC＝2时，求AD的长；
（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝3，BC＝4时，求AD的长；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
【分析】（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形；
（2）若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF＝3：4，如如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE＝3：4，如如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A＝∠ECD与∠B＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE＝∠A，∠C＝∠C，从而可以证明两个三角形相似．
【解答】解：（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝BC＝2时，
△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．
此时D为AB边中点，
AD＝
AC＝
．
（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC＝3，BC＝4时，有两种情况：
（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示．
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥BC．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴BC＝5，
∴cosA＝．
AD＝AC•cosA＝3×＝1.8；
（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示．
∵△CEF∽△CAB，
∴∠CEF＝∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD．
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴此时AD＝
AB＝×5＝2.5．
综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1.8或2.5．
（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝DB＝
AB，
∴∠DCB＝∠B．
由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，
∴∠DCB+∠CFE＝90°，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠CFE＝∠A，
又∵∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CBA．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
18．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD＝∠B，若 AB＝10，求AC的长．
【分析】首先根据∠ACD＝∠B，∠A＝∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到
，再根据D是AB的中点和AB＝10得到
后代入以上比例式后即可求得AC的长．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∵D是AB的中点，AB＝10，
∴
．
∴
．
∴AC2＝50．
∴
（舍负）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．
19．如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线交BC，CD于点E，F，求证：△ABE∽△ACF．
【分析】根据直角三角形两锐角互余和CD是斜边上的高可以得到∠ACD＝∠B，再根据AE是∠BAC的平分线可以得到∠CAE＝∠EAB，利用两角对应相等，两三角形相似即可证明；
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB，∠B＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴△ACF∽△ABE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．解答本题需要熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的对应边成比例．
20．如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，
＝
，EF＝2，BF＝1.5．求DF，BC的长．
【分析】先证明△CDF∽△BEF，进而利用平行四边形和相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意可知：CD∥AE，CD＝AB
∴△CDF∽△BEF
∴
，
∵
＝，EF＝2，BF＝1.5．
∴
，
∴DF＝6，BC＝6．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
21．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC．
【分析】由条件可证得∠AFG＝∠B，结合公共角，可证得结论．
【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴∠EDB＝∠CFA＝90°，
∴∠1+∠B＝∠2+∠AFG＝90°，且∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠B，且∠FAG＝∠GAB，
∴△AFG∽△ABC．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即有两角对应相等的两个三角形相似．
22．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到
，由DE∥BC得到
，然后利用等量代换可得到结论；
（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF＝10可计算出DF．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴
．
（2）∵AD：BD＝2：1，
∴BD＝
AD，
∴AD+AD＝15，
∴AD＝10，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD＝2：1，
∴AF＝2DF，
∵AF+DF＝10，
∴2DF+DF＝10，
∴DF＝
．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．如图，已知AB、CD交于点O，AO＝4，BO＝2，CO＝6，OD＝3，问△AOD与△COB相似吗？为什么？
【分析】根据“两边及其夹角法”（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行证明．
【解答】解：△AOD与△COB不相似．理由如下：
∵AO＝4，BO＝2，CO＝6，OD＝3，∠AOD＝∠BOC，
∴
≠
，或者
≠
．
∴△AOD与△COB不相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．注意，相似三角形的对应边一定要找准．
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．求证：△ACD∽△BFD．
【分析】只要证明∠DBF＝∠DAC，即可判断．
【解答】证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°
∴∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°
∴∠DBF＝∠DAC
∴△ACD∽△BFD．
【点评】本题考查相似三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找能推知相似三角形的条件，属于中考常考题型
25．如图，AB＝2AC，BD＝2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．
【分析】利用平行线BD∥AC的性质可以推知同位角∠B＝∠EAC；然后由已知条件AB＝2AC，BD＝2AE证得△ABC和△ECD的对应边成比例，进而证明△ABD∽△CAE．
【解答】证明：∵AB＝2AC，BD＝2AE，
∴AB：AC＝BD：AE＝2，
∵BD∥AC，
∴∠B＝∠EAC，
∴△ABD∽△CAE．
【点评】本题考查了相似三角形判定．两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
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