北京市人大附中2018-2019学年第一学期期末高二年级数学练习（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共64.0分）
下列导数公式错误的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、
，故A错误；
对于B、
，故B正确；
对于C、
，故C正确；
对于D、，故D正确；
故选：A．
根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．
双曲线
的焦点坐标是
A. 
，
B. 
，
C. 
，
D. 
，
【答案】D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为，
其中
，
，则
，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为
；
故选：D．
根据题意，由双曲线的方程求出a、b的值，计算可得c的值，结合双曲线的焦点位置，分析可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．
如图，在平行六面体
中，若
，
，
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】C
【解析】解：
故选：C．
根据空间向量的加减法运算用已知向量把
表示出来即可．
本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题型．
若
，
，则
是
的
A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】解：
，，
当时，向量成立．
当
0，
，
0，，满足，
但不成立，
是的充分不必要条件．
故选：D．
根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．
如图，正棱柱中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为 
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】D
【解析】
解
如图，连接
，
，
是异面直线与所成的角，
设
，
，
，
，
的余弦值为
，
故选：D．
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中
用余弦定理求解即可．
本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
设函数
，则
A. 
，
取得最大值 B. ，取得最小值
C. 
，取得最大值 D. ，取得最小值
【答案】D
【解析】解：
，
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，
故
在
递减，在
递增，
故
时，取最小值，
故选：D．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题．
如果把二次函数
与其导函数
的图象画在同一个坐标系中则下面四组图中一定错误的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】解：二次函数的对称轴是
，
故其导函数
的根是
，
二次函数的顶点和导函数的解均在直线上，
故对于选项B是错误的，
故选：B．
根据二次函数的顶点和导函数的解在直线上，从而得到答案．
本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题．
函数
在区间
上单调递减，则实数k的取值范围是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】解：根据题意，函数，其导数
，
若函数在区间上单调递减，
则
在上恒成立，
则有
，解可得
，
即k的取值范围为
；
故选：B．
根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，则有，解可得k的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的判定，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
过抛物线
焦点的直线交抛物线于A，B两点，若
，则AB的中点M到y轴的距离等于
A. 2 B. 25 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】解：由抛物线为，
可得
．
设A、B两点横坐标分别为
，
，
设线段AB中点的横坐标为m，
则
，即
，
由
，
解得
，可得AB的中点M到y轴的距离为2．
故选：A．
由题意知，求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，设出AB中点的横坐标m，由中点的坐标公式求出
，利用弦长公式
，解方程可得m，即可得到所求值．
本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：
求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．
如图，已知直线
与曲线
相切于两点，设函数
，则函数
|
A. 有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值
C. 至少有两个极小值和一个极大值 D. 至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【解析】解：设与的切点横坐标分别为，，
，
设的另一条斜率为k的切线与图象的切点横坐标为
，
如图所示：
而
表示直线
的点
与上的点的
的纵坐标的差，
显然，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，为的极小值点，为的极大值点．
，
为的极小值，
为的极大值．
故选：C．
表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．
本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．
如图所示，直三棱柱
的侧棱长为3，底面边长
，且
，D点在棱
上且
，P点在棱
上，则
的最小值为
A. 
B. 
C. 
D. 
|
|
【答案】B
【解析】
解：建立如图所示的直角坐标系，
则
0，
，
1，
，
设
0，
，
则
0，
，
1，
，
，
故当
时，取得最小值为
，
故选：B．
建立如图所示的直角坐标系，设0，，求出
和
的坐标，求出
，利用二次函数的性质求出它的最小值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
已知集合
，
，
，2，
，
对于
，
，定义A与B之间的距离为
．
若集合M满足：
，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，
已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以M=
或
M=
，（1，1，1），
故集合M中元素个数最大值为4，
故选：A．
由集合的子集得：R3中含有8个元素，
先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
即M=或M=，（1，1，1），得解．
本题考查了集合的子集及阅读能力，属难度较大的题型．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
已知函数
，则
______．
【答案】0
【解析】解：
，
，
，
故答案为：0．
先求出，由
，能求出结果．
本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．
已知函数
，则
______．
【答案】0
【解析】解：
函数，
，
，
故答案为：0．
根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值．
本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
已知空间向量
1，
，
0，，若
，
的夹角为
，则实数x的值为______．
【答案】1或
【解析】解：已知
，
则：
，
由于
，
则：
解得：
或
故答案为：1或
首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出x的值．
本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于基础题型．
直线
与函数
的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：令
，
得
，
可求得的极大值为
，
极小值为
，
如图所示，当满足
时，恰有三个不同公共点．
故答案为：
先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数对应的大致图象，平移直线即可得出结论．
本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．
电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为
，为使耗电量最小，则其速度应定为______．
【答案】40
【解析】解：由题设知
，
令
0'/>，解得
，或
，
故函数在
上增，在
上减，
当
，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；
故答案为：40．
欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果．
考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型．
在棱长为1的正方体中，M为体对角线
上动点．
则
到
距离的最小值为______；
位于三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有______种
【答案】
4
【解析】解：到距离的最小值是异面直线和间的距离，
连结AC，BD，交于点O，
则
，
，
平面
，
，且
，
到距离的最小值为
．
故答案为：．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
为z轴，建立空间直角坐标系，
0，，
1，，
1，，
0，，
0，，
1，，
1，，
0，，
M位于三等分点处时，设
，
，
，
，
，
，
，
，
．
到各顶点的距离的不同取值有4种．
故答案为：4．
到距离的最小值是异面直线和间的距离，由此能求出M到距离的最小值；
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M到各顶点的距离的不同取值的种数．
本题考查点到直线的距离的最小值的求法，考查点到各顶点的距离的不同取值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）
已知抛物线C方程：
，点
在C上，F为焦点．
Ⅰ求抛物线C的方程和焦点F坐标；
Ⅱ若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且
，
，求原点O到直线AB的距离．
【答案】解：Ⅰ将代入抛物线方程可得
，
解得
，即抛物线的方程为
，
；
Ⅱ若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，
且，，
由抛物线的定义可得
，
，
即有
，
，
即为
，
，AB的斜率为
，
AB的方程为
，
O到直线AB的距离为
．
【解析】Ⅰ将代入抛物线方程，可得，可得抛物线的方程和焦点坐标；
Ⅱ运用抛物线的定义，可得A，B的坐标，AB的方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程的求法和运用，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
已知函数
，其导函数为的部分值如表所示：
|
x |
|
0 |
1 |
3 |
8 |
|
|
|
6 |
8 |
0 |
|
根据表中数据，回答下列问题：
Ⅰ
实数c的值为______；当
______时，取得极大值将答案填写在横线上．
Ⅱ求实数a，b的值．
Ⅲ求的单调区间．
【答案】6 3
【解析】解：Ⅰ
，3
Ⅱ：
，
由已知表格可得
解得
Ⅲ：由Ⅱ可得
，
因为
和
时
，
时
0'/>，
所以的单调增区间为
，单调减区间为
和
．
Ⅰ由极值的定义，通过表格可求解；
Ⅱ在表格中取两组数据代入解析式即可；
Ⅲ利用导数求出的单调区间
本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间，属于基础题．
如图，在四棱锥
中，底面ABCD为矩形，平面
平面ABCD，
，
，
，E为PA中点．
Ⅰ求证：
平面BED；
Ⅱ求二面角
的余弦值；
Ⅲ在棱PC上是否存在点M，使得
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
|
【答案】
共14分
证明：Ⅰ设AC与BD的交点为F，连结EF．
因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．
在
中，由已知E为PA中点，
所以
．
又
平面BFD，
平面BFD，
所以平面
分
Ⅱ取CD中点O，连结PO．
因为
是等腰三角形，O为CD的中点，
所以
．
又因为平面平面ABCD，
平面PCD，所以
平面ABCD．
取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，
所以
所以
分
如图建立空间直角坐标系
，
则
，1，，0，，
，
1，，
0，，
0，．
2，，
1，
．
设平面PAC的法向量为
y，，
则
，令
，得
1，．
平面PCD的法向量为
0，．
设
的夹角为
，所以
．
由图可知二面角为锐角，
所以二面角
的余弦值为
分
Ⅲ设M是棱PC上一点，则存在
使得
．
因此点
，
，2，．
由
，得
，解得
．
因为
，所以在棱PC上存在点M，使得．
此时，
分
【解析】Ⅰ设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出
由此能证明平面BED．
Ⅱ取CD中点O，连结
推导出，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
Ⅲ设M是棱PC上一点，则存在使得
利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得
此时，
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
已知离心率为
的椭圆C：
与直线相交于P，Q两点点P在x轴上方，且
点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且
．
Ⅰ求椭圆C的标准方程；
Ⅱ求四边形APBQ面积的取值范围．
【答案】本小题满分14分
解：Ⅰ由已知得
，则
，设椭圆方程为：
由题意可知点
在椭圆上，
所以
解得
．
故椭圆C的标准方程为
分
Ⅱ由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．
因为，所以
．
设直线PA的斜率为k，则直线PA：
．
由
，得
．
依题意，方程
有两个不相等的实数根，即根的判别式
成立．
即
，
化简得
，解得
．
因为2是方程的一个解，所以
．
所以
．
当方程根的判别式
时，
，此时直线PA与椭圆相切．
由题意，可知直线PB的方程为
．
同理，易得
．
由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，，
且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足
．
设四边形APBQ面积为S，则
由于，
故
当时，
，可得
，即
．
此处另解：设
，讨论函数
在
时的取值范围．
，则当
时，
，
单调递增．
则当时，
，即
．
所以四边形APBQ面积S的取值范围是
分
【解析】Ⅰ通过椭圆的离心率，设椭圆方程，利用点在椭圆，求出
，然后求出椭圆方程．
Ⅱ通过，推出
设直线PA的斜率为k，得到直线PA：
与椭圆联立，求出A、B坐标，设四边形APBQ面积为S，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值，也可以利用函数的导数求解面积的范围．
本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不等式以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．
对于函数，若存在实数
满足
，则称为函数的一个不动点已知函数
，其中a，
Ⅰ当
时，
求的极值点；
若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值；
Ⅱ若有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b，使得， 均为的不动点？证明你的结论．
【答案】解：Ⅰ
的定义域为R，且
分
当时，
；
当
时，显然在R上单调递增，无极值点
分
当
时，令
，解得：
分
和的变化情况如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
所以，
是的极大值点；
是的极小值点
分
若
是的极值点，则有
；
若是的不动点，则有
，
从上述两式中消去b，
整理得：
分
设
．
所以
，在R上单调递增．
又
，所以函数有且仅有一个零点，
即方程
的根为
，
所以 
分
Ⅱ因为
有两个相异的极值点，，
所以方程
有两个不等实根，，
所以
，即
分
假设存在实数a，b，使得，均为的不动点，则，是方程
的两个实根，显然，
．
对于实根，有
又因为
，得
．
同理可得
．
所以，方程
也有两个不等实根，
分
所以
．
对于方程，有 
，
所以
，即
，
这与
相矛盾
所以，不存在a，b，使得，均为的不动点
分
【解析】Ⅰ
求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，
得到函数有且仅有一个零点，即方程的根为，从而求出b的值即可；
Ⅱ假设存在，根据题意得到，，得到，这与相矛盾判断结论即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类讨论思想，是一道综合题．
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