《轴对称》综合测试一
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.下列说法不正确的是（ ）
A．两个关于某直线对称的图形一定全等
B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
3.下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形
D．三边都相等的三角形
4.如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（ ）
A．BD=
AB B．BD=
AB C．BD=
AB D．BD=
AB
6．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，E是AC上一点，且AE=AD，若∠AED=75°，则∠EDC的度数是（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
7.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，4）、B（2，1）、C（5，2），沿某一直线作△ABC的对称图形，得到△A′B′C′，若点A的对应点A′的坐标是（3，5），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（1，2） C．（0，2） D．（4，1）
8. 如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为（ B ）
A. 6cm2 B. 5cm2 C. 4cm2 D. 3cm2
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.已知点A（a，2019）与点B（2020，b）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
10.等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角的度数是 ．
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为 ．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 cm2．
13. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O．过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=8，AC=6，则△ADE的周长是 .
14.如图：D、E是三角形ABC的边BC上的两点，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的大小等于 ．
三、解答题（5个小题，共52分）
15.（8分）如图所示，写出△ABC关于x对称的△A1B1C1的各顶点坐标，并画出△ABC关于y对称的△A2B2C2．
16.（10分）如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．
17.（10分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．
求证：ME⊥BC．
18.（12分）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
19.（12分）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
《轴对称》综合测试一
参考答案
一、1. D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B.
提示：
1. 提示：A、有3条对称轴；B、有4条对称轴；C、有2条对称轴；D、有6条对称轴．故选D．
2.提示：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，本选项正确；
B、对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，如可能在对称轴上，故本选项错误；
C、两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，本选项正确；
D、平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，本选项正确．故选B．
3.提示：A、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等腰三角形；
C、有两个外角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形；
D、三边都相等的三角形是等边三角形，正确；故选：C．
4.提示：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BEC周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵腰长AB=8，∴AC=AB=8，∴△BEC周长=8+5=13．故选A．
5.提示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=AB.∵CD是高，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=BC，∴BD=AB．故选C．
小结：30º锐角所对的边等于斜边的一半，只有在直角三角形中才成立，其他三角形中不成立.
6.提示：∵在△ABC中，D为BC中点，AB=AC，∴AD⊥BC；又∵AD=AE，∠AED=75°，
∴∠ADE=75°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．故选B.
小结：本题主要考查了等腰三角形的两条重要性质：等边对等角和“三线合一”.
7.提示：如图所示，点B′（0，3）．故选A．
小结：本题考查的是画轴对称图形，旨在培养学生的动手操作能力和观察能力.
8.提示：如图，延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，∴△ABP≌△BEP（ASA），∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，设△ACE的面积为m，∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=10+m，∴S△PBC=S△ABE-S△ACE=
=5.故选：B．
小结：因为等底同高的两个三角形面积相等，所以三角形被中线分成的两个三角形面积相等.
二、9. -1 10.40° 11.10° 12.9 13.14 14.120°
提示：
9. 提示：由点A（a，2019）与点B（2020，b）关于x轴对称，得a=-2020，b=2019，
a+b=-1，故答案为：-1．
10.提示：∵一个角为100°，∴这个角只能是等腰三角形的顶角，∴该等腰三角形的顶角为100°，
∴底角为
=40°，故答案为：40°．
11.提示：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案为：10°．
12.提示：根据等腰三角形是轴对称图形，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半.∵S△ABC=18cm2，∴阴影部分面积=×18=9cm2．故答案为：9.
小结：本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质，利用对称发现△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键.
13.提示：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=DO，同理OE=EC，∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AB+AC=8+6=14．故答案为14.
小结：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
14.提示：∵AD=AE=DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，∵AD=AB，AE=EC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=120°．故答案为：120°．
小结：本题考查了等边三角形的判定的性质，发现并利用等边三角形是解题的关键.
三、15. 解：△ABC各顶点的坐标以及△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标：
A1（﹣3，﹣2），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1），
如图所示：△A2B2C2，即为所求．
16.解：本题画法较多，只要满足题意均可，如图所示：
17.思路分析：根据等腰直角三角形的性质，得到△BEH是等腰直角三角形，然后利用角平分线的性质，得到DE=HE，再利用BM=2DE，得到△HEM是等腰直角三角形，从而获证.
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵EH⊥AB于H，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．
小结：等腰直角三角形既是等腰三角形也是直角三角形，因此它兼具这两种三角形的所有性质.
18.思路分析：（1）利用垂直平分线的性质求AB的长；（2）由四边形内角和得∠ACB的度数，再由三角形内角和得∠A+∠B的度数，最后根据等腰三角形的性质求∠MCN的度数．
解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
∴AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；
（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，∠MFN=70°，
∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCA+∠NCB＝70°，
∴∠MCN=110°－70°＝40°．
小结：本题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质.线段垂直平分线经转化后就是等腰三角形.
19.思路分析：（1）当M、N两点重合时，它们的路程差是12，据此可求出运动时间；（2）当M在AC上，N在AB上时，可得到等边三角形△AMN，根据等边三角形的性质得运动时间；（3）根据点M、N将在点C重合，所以点M、N在BC上时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，证明△ACM≌△ABN，由全等三角形的性质求得运动时间.
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12﹣2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵
，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，
y﹣12=36﹣2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
小结：动点问题要动中求静，将动点运动的路径进行分段，逐段分析可解决问题.
《轴对称》综合测试二
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点A（﹣2，3）关于x轴对称的点是点B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3．已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
5．如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2）
6.将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
8．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.我国国旗上的五角星有 条对称轴．
10.已知点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，则a+b= ．
11.如图，CD是△ABC的边AB上的高，且AB=2BC=8，点B关于直线CD的对称点恰好落在AB的中点E处，则△BEC的周长为 ．
12.已知一个等腰三角形的两边长分别是6和5，那么它的周长为 ．
13.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
14.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
三、解答题（5个小题，共52分）
15.（8分）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．
16.（10分）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，2小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围18海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．
17.（10分）如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B= °，∠C= °；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2.
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
18.（12分）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）
（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）
（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；
②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
19.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
《轴对称》综合测试二
参考答案
一、1. D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C.
提示：
1. 提示：利用轴对称图形定义判断．下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是“中”，故选D．
2.提示：点A（﹣2，3）关于x轴对称的点B的坐标为（﹣2，﹣3）．点B（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点C的坐标为（2，-3）.故选：B．
3.提示：根据非负数的性质，得∴a﹣b=0，且b﹣c=0，∴a=b，且b=c，∴a=b=c，∴这个三角形一定是等边三角形，故选B．
4.提示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，∴DE=DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE．∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=DC=5cm，∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），故选B．
5.提示：如图，∵点P（﹣1，2），∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣1）=2，∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为2，∴点P′的横坐标为2+1=3，∴对称点P′的坐标为（3，2）．故选C．
小结：本题采用数形结合的办法更容易得到答案，找一个点的坐标，应分为求点的横坐标与纵坐标两个小题.
6.提示：由于剪去的是一个等腰直角三角形，四个等腰直角三角形直角顶点重合可以得到一个正方形.故选：B．
小结：此题主要考查了剪纸问题，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
7.提示：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
（2）不能；
（3）显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
（4）中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选A．
小结：在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形形状相同才有可能．
8.提示：P1=1+1+1=3，P2=1+1+=
，P3=1+++
×3=
，P4=1+++×2+
×3=
，…
∴p3﹣p2=﹣==
，P4﹣P3=﹣==
，则Pn﹣Pn﹣1=
=．故选C．
小结：本题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
二、9. 5 10.﹣5 11.12 12.16或17 13.5.5 14.8.
提示：
9. 提示：过五角星的五个顶点中任意一个，与所对的两边的交点可作一条对称轴，∴五角星有5条对称轴．故答案为：5．
10.提示：∵点P（2a+b，b）与P1（8，﹣2）关于y轴对称，∴2a+b=﹣8，b=﹣2，解得：a=﹣3，则a+b=﹣3﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．
11.提示：∵点B与点E关于DC对称，∴BC=CE=4．∵E是AB的中点，∴BE=AB=4．∴△BEC的周长12．故答案为：12．
12.提示：当腰为6时，则三角形的三边长分别为6、6、5，满足三角形的三边关系，周长为17；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为16；综上可知，等腰三角形的周长为16或17．故答案为：16或17．
小结：已知等腰三角形的两边长求周长，不仅要分类讨论，还要看是否符合三角形三边关系.
13.提示：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=AB=×11=5.5，∴DF=5.5．故答案为：5.5．
小结：角平分线与平行线结合时，常有等腰三角形出现.
14.提示：如图，AB是腰长时，有4个点可以作为点C，AB是底边时，有4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．故答案为8．
小结：掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
三、15. 解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，则P即为售票中心．
16.解：如图，过P作PE⊥AB于E，
由题意得：∠PAE=15°，∠PBE=30°，AB=30海里．
∴AB=BP=30，
在Rt△BPE中，∵∠PBE=30°，
∴PE=BP=×30=15．
又∵周围18海里都会有危险，
∴轮船继续向北航行，有触礁危险．
17.思路分析：（1）由等边对等角，得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B，∠C；（2）①由（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，利用三角形内角和求得∠ANH、∠AEH的度数，可得AN=AE；②由①知AN=AE，借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．
解：（1）∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵DA=DB，
∴∠BAD=∠B，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，
∴2∠B+2∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=36°，
在△ACD中，∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠AEN=∠ANE=54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD=BN+CE．
证明：由①知AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，
∴BN+CE=BC﹣BD=CD，
即CD=BN+CE．
小结：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．
18.思路分析：（1）根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可得出答案；（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；（3）①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可得出答案．
解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，
则此时C点符合要求．
（2）作图如下：
（3）①作图如下：
②∵∠BAE=125°，
∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．
小结：在平面内找最短路径，要利用轴对称，用这个点的对称点去代替这个点，化曲为直.
19.思路分析：（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=
．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DW=DM，连接MW，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW=DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．
由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND，∠H=∠6=60°．
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG﹣ND．
小结：此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
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