上海市华二附中高二上数学10月月考卷
一. 填空题
1. 已知直线的一个方向向量是
,则它的斜率为
2. 平面直角坐标系中点到直线
的距离为
3. 已知直线过点
,法向量
,则其点法向式方程为
4. 已知单位向量、
,若
,则
与
的夹角为
5. 点在直线
上,则
的最小值是
6. 直线过原点且平分
的面积,平行四边形的两个顶点
,
,则直线
的方程为
7. 若直线被两平行线
与
所截得线段的长为
,则直线
的倾斜角是
8. 经过的直线
与两直线
和
分别交于
、
两点,且满足
,则直线
的方程为
9. △是边长为1的正三角形,则
(
,
)取值集合为
10. 在平面直角坐标系中,已知向量,
是坐标原点,
是曲线
上的动点,则
的
取值范围
11. 定义:对于实数和两定点
、
,在某图形上恰有
(
)个不同的点
,使得
(
),则称该图形满足“
度契合”,若边长为4的正方形
中,
,
,
且该正方形满足“4度契合”,则实数的取值范围是
12. 已知点在以
为圆弧
上运动,且
,若
,则
的取值范围为
二. 选择题
13. 点关于直线
的对称点的坐标是( )
A. B.
C.
D.
14. 在下列四个命题中,正确的共有( )
① 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率;② 直线的倾斜角的取值范围是;
③ 若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为
;④ 若一条直线的倾斜角为
,则此直线的斜率为
;
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
15. 设为两个非零向量
、
的夹角,已知当实数
变化时
的最小值为2,则( )
A. 若确定,则
唯一确定 B. 若
确定,则
唯一确定
C. 若确定,则
唯一确定 D. 若
确定,则
唯一确定
16. 在△中,
,
,
,若点
为边
所在直线上的一个动点,则
的最小值为( )A.
B.
C.
D.
三. 解答题
17. 已知点,
,且
、
两点到直线
的距离都为2,求直线
的方程.
18. 已知,、
、
是同一平面内的三个向量,其中
.
(1)若,且
∥
,求
的坐标;(2)若
,且
与
的夹角为锐角,求实数
的取值范围.
19. 已知直线及点
.
(1)求点关于直线
对称的点
的坐标;(2)求过点
且与直线
夹角为
的直线
的方程.
20. 一束光从光源射出,经
轴反射后(反射点为
),射到线段
,
上
处.
(1)若,
,求光从
出发,到达点
时所走过的路程;
(2)若,求反射光的斜率的取值范围;(3)若
,求光从
出发,到达点
时所走过的最短路程.
21. 如图,已知直线
和直线
(
,
),点
为坐标原点,
,
,点
、
分别是直线
、
上的动点,直线
和
之间的距离为3.
(1)求直线和直线
的夹角的余弦值;
(2)已知、
中点为
,若
,求
的最大值;
(3)若,
,求
的最小值.
2020-2021学年上海市华二附中高二上数学10月月考卷参考答案
一. 填空题
1. 2 2. 3.
4.
5. 8 6.
7. 15°,75° 8.
9.
10.
11.
或
12.
二. 选择题
13. A 14. A 15. A 16. D
三. 解答题
17. 解:∵|AB|==5,
|AB|>2,
∴A与B可能在直线l的同侧,也可能直线l过线段AB中点,
①当直线l平行直线AB时:kAB==﹣
,可设直线l的方程为y=﹣
x+b
依题意得:=2,解得:b=
或b=
,故直线l的
方程为:3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0
②当直线l过线段AB中点时:AB的中点为(3,),可设直线l的方程为y﹣
=k(x﹣3)
依题意得:=2,解得:k=
,故直线l的方程为:
x﹣2y﹣
=0.
18.解:设,∵
,且
,∴
,解得
或
,
∴或
;
(2)与
的夹角为锐角,则
,且
与
不同向共线,
,解得:
,
若存在,使
,
则
,
,解得:
,所以
且
,
故实数取值范围是
.
19.解:(1) 设,因为
关于直线
对称,故
,
即 ,解得
,故
.
(2)设直线的倾斜角为
,
.则直线
的倾斜角为
或
.
当直线的倾斜角为
时,
的斜率
,故直线
的方程为
,
化简得.当直线
的倾斜角为
时,
的斜率
,
故直线的方程为
,化简得
.
所以直线的方程为
和
.
20.解:(1)关于
轴的对称点
,
………1分
,则此时
……1分所以光所走过的路程即
……1分
(2)对于线段,令其端点
………1分
则, 所以反射光斜率的取值范围是
………2分
(3)若反射光与直线垂直,则由
………1分
① 当,即
时,光所走过的最短路程为点
到直线
的距离,
所以路程;………2分
② 当,即
时,光所走过的最短路程为线段
,其中
所以………2分
综上:………1分
20.
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