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上海市格致中学2020-2021高三（上）第二次月考数学试卷（解析版）

上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷

　

一.填空题

1．已知复数，则复数z的虚部为　　．

2．已知集合M={y|y=2^x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于　　．

3．已知||=1，||=，∥，则•=　　．

4．不等式的解集为　　．

5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=　　．

6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为　　．

7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为　　．

8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为　　．

9．在的展开式中有　　项为有理数．

10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是　　．

11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是　　．

12．已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为　　．

　

二.选择题

13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（　　）

A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb²＜ca² D．ac（a﹣c）＜0

15．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（　　）

A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθ

C．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ

16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：

①•=2005!；

②2004!!=2¹⁰⁰²•1002!；

③2004!!的个位数是0；

④2005!!的个位数是5；

上述命题中，正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（　　）

A．0 B．3 C．4 D．6

　

三.解答题

19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底

面ABCD，；

（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；

（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

20．函数y=2^x和y=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．

（1）设曲线C₁，C₂分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C₁，C₂对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；

（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．

（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动

的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；

（1）当时，求S关于α的函数关系式；

（2）当时，求S的最大值；

（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来

回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．

23．设函数f（x）=x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k，x∈R；

（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；

（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k﹣1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄及数列{a_n}的前2n项和S_2n；

（3）对于（2）中的数列{a_n}，设，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

　

2017-2018学年上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷

参考答案与试题解析

　

一.填空题

1．已知复数，则复数z的虚部为　﹣2　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数===﹣1﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．

故答案为：﹣2．

　

2．已知集合M={y|y=2^x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于　∅　．

【考点】交集及其运算．

【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．

【解答】解：集合M={y|y=2^x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，

故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=∅，

故答案为：∅．

　

3．已知||=1，||=，∥，则•=　　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】直接利用向量的数量积求解即可．

【解答】解：||=1，||=，∥，则•=||||cos=．

故答案为：．

　

4．不等式的解集为　[2，+∞）　．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】不等式，可得，即可得出结论．

【解答】解：不等式，可得，∴x≥2，

∴不等式的解集为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

　

5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=　　．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．

【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）

其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）

∵图象的一条对称轴是直线，

∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）

∵﹣π＜φ＜0，

当k=﹣1时，可得φ=．

故答案为：．

　

6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为　　．

【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．

【分析】由不等式可知f（x），g（x）的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．

【解答】解：x∈[0，π]，由不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f（x）g（x）＞0．

根据图象可知，当x＞0时，其解集为：（0，），

∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，

∴f（x）g（x）是奇函数，

∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0，∴其解集为：（﹣π，﹣），

综上：不等式的解集是，

故答案为．

　

7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为　16　．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．

【解答】解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，

又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4

由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，

代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16，

故答案为：16．

　

8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为　（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）　．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义即可得到结论．

【解答】解：设z=，则z的几何意义是区域内的点到原点的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，1）

由图象可知≥K_OA=1，

或．

的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞），

故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．

　

9．在的展开式中有　9　项为有理数．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】利用通项公式即可得出．

【解答】解：通项公式：T_r+1==（﹣1）^r××．

当与都为整数且25为整数时，T_r+1为有理数，则r=0，6，12，18，24，30，36，42，48．

∴展开式中有9项为有理数．

故答案为：9．

　

10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是　　．

【考点】几何概型．

【分析】求出满足题意的椭圆个数，即可求出概率．

【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，a≠b，所以有两类，

一类是a，b从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A₈²=56

一类是a从9，10，两个数字中选一个，b从{1，2，3，…6，7，8}中选一个

方法是：2×8=16

所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72，

所以所求概率为，

故答案为．

　

11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是　　．

【考点】复合函数的单调性．

【分析】先换元，分类参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围．

【解答】解：设a^x=t（t＞0）

∵

∴

∵t＞0，∴t+≥2

∴

∴

∴m的取值范围是

故答案为：

　

12．已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为　　．

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．

【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．

当0＜r≤1时，f（r）=3×=，

当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，

由于f（1）=f（）=，

∴关于r的方程的解集为，

故答案为．

　

二.选择题

13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．

【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，

而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，

如图示：

，

直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，

故选：A．

　

14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（　　）

A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb²＜ca² D．ac（a﹣c）＜0

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．

【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，

故c＜0，a＞0，

∴ab＞ac一定成立，

又∵b﹣a＜0，

∴c（b﹣a）＞0一定成立，

b²与a²的大小无法确定，

故cb²＜ca²不一定成立，

∵a﹣c＞0，

∴ac（a﹣c）＜0一定成立，

故选：C

　

15．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（　　）

A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθ

C．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；

【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．

对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；

对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；

对C：d=1，正确；

对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；

故选：C

　

16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．

【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．

【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，

∴f（）=（a﹣b）=，

平方得a²+2ab+b²=0，

即（a+b）²=0，

则a+b=0，b=﹣a，

则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，

则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，

且图象关于点（π，0）对称，

故选：D．

　

17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：

①•=2005!；

②2004!!=2¹⁰⁰²•1002!；

③2004!!的个位数是0；

④2005!!的个位数是5；

上述命题中，正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】排列及排列数公式．

【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出．

【解答】解：①•=2005!，正确；

②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=2¹⁰⁰²•1002!，正确；

③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2的个位数是0，正确；

④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1的个位数是5；

上述命题中，正确的命题有4个．

故选：D．

　

18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（　　）

A．0 B．3 C．4 D．6

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．

①在Rt△AA′C中， =，因此∠AA′C≠45°．

同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为．

故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为，不满足条件；

②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则，．

若满足BP与AC^′所成的角为45°，则==，化为y²+4y+1=0，无正数解，舍去；

同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；

③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），

则，．

若满足BP与AC'所成的角为45°，则==，化为y²+8y﹣2=0，

∵0≤y≤1，解得，满足条件，此时点P．

④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．

而其它棱上没有满足条件的点P．

综上可知：满足条件的点P有且只有3个．

故选B．

　

三.解答题

19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底

面ABCD，；

（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；

（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】（1）求出BD=1，AC=，SD=，由此能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．

（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．

【解答】解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，

SD垂直于底面ABCD，，

∴BD=1，AC==，

SD==，

S_菱形ABCD===，

∴四棱锥S﹣ABCD的体积V===．

（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），S（0，0，），M（），B（，，0），

=（），=（，﹣），

设异面直线DM与SB所成角为θ，

则cosθ===，

，

∴异面直线DM与SB所成角为．

　

20．函数y=2^x和y=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．

（1）设曲线C₁，C₂分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C₁，C₂对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；

（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

【考点】根据实际问题选择函数类型；函数恒成立问题．

【分析】（1）由题意，C₁对应的函数为f（x）=x³，C₂对应的函数为g（x）=2^x ，不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•2^3x＜2^x，利用分离参数法，可求k的取值范围；

（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2^x﹣x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），由此可得a，b的值．

【解答】解：（1）由题意，C₁对应的函数为f（x）=x³，C₂对应的函数为g（x）=2^x

不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•2^3x＜2^x，则k＜4^﹣x对任意x∈（0，1）恒成立

∵，∴

（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2^x﹣x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，

由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=2⁹﹣9³＜0，φ（10）=2¹⁰﹣10³＞0，

则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），

因此整数a=1，b=9．

　

21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．

（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．

【分析】（1）把F₂代入直线方程求得m，则直线的方程可得．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据， =2，可知G（，），h（，），表示出|GH|²，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F₂（，0），

所以=，得m²=2，

又因为m＞1，所以m=，

故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．

（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由，消去x得

2y²+my+﹣1=0

则由△=m²﹣8（﹣1）=﹣m²+8＞0，知m²＜8，

且有y₁+y₂=﹣，y₁y₂=﹣．

由于F₁（﹣c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，

由， =2，可知G（，），H（，）

|GH|²=+

设M是GH的中点，则M（，），

由题意可知2|MO|＜|GH|

即4[（）²+（）²]＜+即x₁x₂+y₁y₂＜0

而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（）

所以（）＜0，即m²＜4

又因为m＞1且△＞0

所以1＜m＜2．

所以m的取值范围是（1，2）．

　

22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动

的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；

（1）当时，求S关于α的函数关系式；

（2）当时，求S的最大值；

（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来

回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）根据题意过点O作OH⊥BC于H．再讨论α的范围，可得当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S=S_{正方形OABH}﹣S_△OAE﹣S_△OHF；当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S=S_△OEF．由此即可得到当0≤α＜时S关于α的函数表达式；

（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；

（3）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间．

【解答】解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足

当，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），

此时，AE=tanα，FH=tan（﹣α），∴S=S_{正方形OABH}﹣S_△OAE﹣S_△OHF

；

当，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），EH=，FH=

；

 

（2）当，；

即S=2﹣，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．

，当tanα=﹣1时，S取得最大值为2﹣

（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=，其中点G被照到时，共转了2×=，

∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×=2分钟；

　

23．设函数f（x）=x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k，x∈R；

（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；

（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k﹣1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄及数列{a_n}的前2n项和S_2n；

（3）对于（2）中的数列{a_n}，设，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由f（1）≤0，可得1﹣（3k+2^k）+3k•2^k≤0，化为：（2^k﹣1）（3k﹣1）≤0，解出即可得出实数k的取值范围．

（2）x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2^k）≤0，由于k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k﹣1，a_2k]，可得：当k=1时，2≤x≤3，a₁=2，a₂=3．当k=2时，4≤x≤6，a₃=4，a₄=6．当k=3时，8≤x≤9，a₅=8，a₆=9．当k=4时，12≤x≤16，a₇=12，a₈=16．当k≥5时，2^k=（1+1）^k＞3k．可得a_2k﹣1=3k，a_2k=2^k．（k=4时也成立）．即可得出数列{a_n}的前2n项和S_2n．

（3）对于（2）中的数列{a_n}， =．可得：T₁=，T₂=，…，T_2n+1＜T_2n，而T_2n≤T₂，

即可得出．

【解答】解：（1）∵f（1）≤0，∴1﹣（3k+2^k）+3k•2^k≤0，

化为：（2^k﹣1）（3k﹣1）≤0，∴，或．

解得k∈∅，或．

∴实数k的取值范围时．

（2）x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2^k）≤0，

∵k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a_2k﹣1，a_2k]，

∴当k=1时，2≤x≤3，∴a₁=2，a₂=3．

当k=2时，4≤x≤6，∴a₃=4，a₄=6．

当k=3时，8≤x≤9，∴a₅=8，a₆=9．

当k=4时，12≤x≤16，∴a₇=12，a₈=16．

当k≥5时，2^k=（1+1）^k≥2（1++）=k²+k+2＞3k．

∴a_2k﹣1=3k，a_2k=2^k．（k=4时也成立）．

∴a₁+a₂+a₃+a₄=2+3+4+6=15．

n≥4时，数列{a_n}的前2n项和S_2n=a₁+a₂+…+a₈+a₉+a₁₀+…+a_2n﹣1+a_2n

=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（2⁵+2⁶+…+2ⁿ）

=60+3×+

=+n﹣2+2ⁿ⁺¹．

经过验证，n=1，2，3时也成立．

∴S_2n=+n﹣2+2ⁿ⁺¹．

（3）对于（2）中的数列{a_n}， =．

∴b₁=﹣，b₂=，b₃=﹣，b₄=，…，

则T₁=，T₂=，…，T_2n+1＜T_2n，

而T_2n≤T₂，

∴数列{b_n}的前n项和T_n的最大值为．

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