《3.2 一元一次方程的应用》基础练习
1. 书店里每本定价10元的书，成本是8元．为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打( )折.
A. 9.7 B. 9.6 C. 9.8 D. 9.5
2. 某商场节日酬宾：全场8折．一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2000元，那么它的原价为( ).
A. 2750元 B. 2650元 C. 2850元 D. 2950元
3. 李师傅用100000元存了一个一年期的定期储蓄，到期后本息和共102250元，则这种储蓄的年利率是( ).
A．1.25% B．2.5% C． 2.25% D．2.75%
4. 五一期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元，设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( ).
A．x(1＋30%)×80%＝2080 B．x·30%·80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x D．x·30%＝2080×80%
5. 某次成语英雄赛中有25道题，答对一题记5分，答错或不答一题扣2分，比赛结束后小明共得到90分，试问小明答对了( )道题.
A．30 B．25 C．35 D．20
6. 某厂第一车间有64人，第二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．需从第一车间调( )人到第二车间.
A．22 B．23 C．24 D. 25
7. 一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，可列方程为( ).
A．x＋1＝(30－x)－2 B．x＋1＝(15－x)－2
C．x－1＝(30－x)＋2 D．x－1＝(15－x)＋2
8. 一个三角形的三条边的长度之比为2∶4∶5，最长的边比最短的边长6 cm，则该三角形的周长是( ).
A．22 B．24 C．26 D．28
9. 将装满水的底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50厘米的圆柱形水桶里，这时水面的高度是( ).
A. 38厘米 B. 38.1厘米 C. 38.3厘米 D. 38.4厘米
10. 有一个长、宽、高分别是15 cm、10 cm、30 cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形，且边长为15 cm的长方体钢锭，则锻压后长方体钢锭的高为( )(忽略锻压过程中的损耗).
A．10cm. B．20cm. C．15cm. D．25cm.
11. 将一个长、宽、高分别为15cm、12cm和8cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．
12. 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
13. 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
14. 张师傅在银行里用定期一年整存整取的方式存入人民币8000元，到期得到本息8180元，求这项储蓄的月利率(不计利息税)．
15. 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
答案和解析
【答案】
1. C 2. A 3. C 4. A 5. D
6. C 7. D 8. A 9. D 10. B
11. 锻造前的长方体钢坯的表面积较大．
12. 小明爸爸从家出发 10分钟后接到小明．
13. 战斗是在开始追击后8小时发生的．
14. 这项储蓄的月利率为0.1875%.
15. 这批夹克每件的成本价是50元．
【解析】
1. 解：设该书应打x折，
根据题意，得10×
－8＝(10－8)×(1－10%)．
解得，x＝9.8.
答：该书应打九八折．
故选C.
本题中的利润为10－8＝2(元)，因为让利10%给读者，所以书店的利润为(1－10%)×2(元)，此时的售价为(10×折扣)元．根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程．
让利10%，即指利润为原来的90%.解题时要注意理解题目内包含的信息．
2. 解：设原价为x元，
根据题意，得80%x－2000＝2000×10%.
解得，x＝2750.
答：它的原价为2750元．
故选A.
本题中的利润为(2000×10%)元，销售价为(原价×80%)元，根据公式建立起方程即可．
售价＝进价＋利润，售价＝原价×打折数×0.1，售价＝进价×(1＋利润率)．
3. 解：设这种储蓄的年利率是x，
根据题意，得100000×(1＋x)＝102250，
解得，x＝2.25%.
答：这种储蓄的年利率是2.25%.
故选C.
本题中的本息和共102250元，本金是100000元，根据公式建立起方程即可．
利息＝本金×年利率×年数；本息和＝本金＋利息.
4. 解：设该电器的成本价为x元，那么提高成本价后该电器的标价为(1＋30%)x，对它打8折得实际售价为x(1＋30%)×80%.
根据题意，得x(1＋30%)×80%＝2080.
故选A.
商品的利润是商品的售价与进价之差，也就是说：利润＝实际售价－进价(或成本)．商品利润率是：利润率＝商品利润商品进价×100%.打8折后的售价为原价的80%.
5. 解：设小明答对了x道题，则答错或不答 (25－x)道题，
根据题意，得5x－2(25－x)＝90，
解得，x＝20.
答：小明答对了20道题．
故选D.
由“成语英雄赛中有25道题”，设小明答对了x道题，则答错或不答 (25－x)道题，根据答对的题数×5－答错或不答的题数×2＝最终得分数，就能建立起方程．
本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
6. 解：设需从第一车间调x人到第二车间，
根据题意得2(64－x)＝56＋x，
解得，x＝24.
答：需从第一车间调24人到第二车间．
故选C.
本题中设需从第一车间调x人到第二车间，则调配完之后，第一车间有(64－x)人，第二车间有(56＋x)人.根据“第一车间人数是第二车间人数的一半”，就能建立起方程．
本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
7. 解：因为长方形的长为x cm，长方形的周长为30 cm，所以长方形的宽为(15－x)cm.
因为这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm就可成为一个正方形，
所以x－1＝(15－x)＋2.
故选D.
根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．
8. 解：设该三角形的边长分别为2x cm，4x cm，5x cm.
由题意得，5x－2x＝6，
解得，x＝2.
所以2x＋4x＋5x＝11x＝11×2＝22，
即该三角形的周长为22 cm.
故选A.
利用三角形最长的边比最短的边长6 cm为相等关系列出方程．设其中一份为x cm，由三角形的三条边的长度之比，即可用含x的式子表示出来．
比例分配问题中的全部数量＝各种成分的数量值之和．
9. 解：设这时水面的高度为x厘米，
根据题意可得：
，
解得，x＝38.4.
答：这时水面的高度为38.4厘米．
故选D.
本题中的相等关系为：底面直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径为50厘米的圆柱形水桶中水的体积，故可设这时水面的高度为x厘米，用含x的式子表示出水的体积即可．
10. 解：设锻压后长方体钢锭的高为x cm.
由题意，得 15×15×x＝15×10×30，
解得，x＝20 .
答：锻压后长方体钢锭的高为20cm.
故选B.
由锻压前后两长方体钢锭体积相等，可求出锻压后长方体钢锭的高．
本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高．
11. 解：设锻造后长方体的高为xcm，
依题意，得15×12×8＝12×12x.
解得，x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为
2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(
)，
锻造后长方体钢坯的表面积为
2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768()．
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大．
由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可．
本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高．
12. 解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，
由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.
解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发 10分钟后接到小明．
本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．
找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．
13. 解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．
根据题意，得8x－5x＝25－1.
解得，x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的．
本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程．
追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间．
14. 解：设这项储蓄的月利率为x，
根据题意，得8000＋8000×12×x＝8180.
解方程得，x＝0.1875%.
答：这项储蓄的月利率为0.1875%.
本题考查储蓄中的利率问题，利息＝本金×利率×期数．
存款利率问题中有很多相关联的量，如本金、利息、利率等，只有知道它们的相互联系才能解决好此类问题．
15. 解：设这批夹克每件的成本价为x元，则标价为(1＋50%)x元．
根据题意，得(1＋50%)x×80%＝60.
解得x＝50.
答：这批夹克每件的成本价是50元．
先用成本价表示出标价，然后根据等量关系：标价×80%＝60，列出方程即可．
按标价8折出售即按标价的80%出售．解题时要依据题意列出相应的等量关系式．
《3.2 一元一次方程的应用》提高练习
1. 某旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数比到怀集的人数的2倍少1人，则到德庆旅游的人数为( ).
A．67人 B．68人 C．133人 D．135人
2. 某湿地公园举行观鸟节活动，全价票为20元/人，半价票为10元/人，该公园共售出1200张门票，得总票款20000元．则半价票售出( ).
A. 800张 B. 400张 C. 1200张 D. 200张
3. 某品牌羽绒服按成本提高50%后标价，由于换季，商家决定降价销售，促销措施为：买一件打八折(标价的80%)，买两件或两件以上打七折(标价的70%)．已知顾客买一件商家能获利28元，若顾客同时买两件，商家每件还能获利( )元.
A．6 B．7 C．8 D．9
4. 在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别为( )．
A．3.5m，3m B．3.4m，3.2m
C．4.5m，1m D．4m，2m
5. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用4小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时40分钟，已知水流速度为3千米/小时，则船在静水中的平均速度是( ).
A．39千米/小时 B．40千米/小时
C．43千米/小时 D．45千米/小时
6. 某商店两个进价不同的豆浆机都卖378元，其中一个盈利40%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是( ).
A．盈利13.5元 B．亏损13.5元
C．盈利10.5元 D．亏损10.5元
7. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各( ).
A．15人，5人 B．16人，4人
C．17人，3人 D．18人，2人
8. 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
9. 李明以两种方式储蓄了500元钱，一种方式储蓄的年利率是5%，另一种是4%，一年后得利息23元5角，问两种储蓄各存了多少元钱？
10. 某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1：2：4.7，现要配制这种中药2100克 ，四种草药分别需要多少克？
答案和解析
【答案】
1. C 2. B 3. B 4. D 5. A 6. A 7. C
8. 亏损8元.
9. 年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元．
10. 需要甲种草药175克，乙种草药250克，丙种草药500克，丁种草药1175克．
【解析】
1. 解：设到怀集旅游的人数为x人，则到德庆旅游的人数为(2x－1)人．
根据题意，得x＋(2x－1)＝200.
解得，x＝67，
则到德庆旅游的人数为2×67－1＝133(人)．
答：到怀集旅游的人数为67人，到德庆旅游的人数为133人．
故选C.
利用“到德庆的人数比到怀集的人数的2倍少1人”为相等关系列出方程．设到怀集旅游的人数为x人，则到德庆旅游的人数为(2x－1)人，由“某旅行社组织200人到怀集和德庆旅游”，即可用含x的式子表示出来．
本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
2. 解：设全价票售出x张，则半价票售出(1200－x)张．
根据题意，得20x＋10×(1200－x)＝20000，
解方程，得x＝800.
1200－x＝1200－800＝400.
答：全价票售出800张，半价票售出400张．
故选B.
由“该公园共售出1200张门票”，设全价票售出x张，则半价票售出(1200－x)张．根据全价票款＋半价票款＝总票款，就能建立起方程．
本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
3. 解：设该品牌羽绒服的成本价为x元，
根据题意，得80%×(1＋50%)x－x＝28，
解得，x＝140，
则140×(1＋50%)×70%－140＝7(元)．
答：若顾客同时买两件，商家每件能获利7元．
故选B.
本题中设该品牌羽绒服的成本价为x元，则该羽绒服的标价为(1＋50%)x，根据买一件打八折(标价的80%)，并且顾客买一件商家能获利28元，可以建立起方程. 求出羽绒服的成本价后，根据利润＝实际售价－进价，即可求出同时买两件商家每件的获利情况.
4. 解：设小长方形的长为x m，则宽为(10－2x)m.
由题意得，x＋2(10－2x)＝8，
解得，x＝4.
所以，10－2x＝2.
答：小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m.
故选D.
本题运用了数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而解决所求问题．注意挖掘图形中隐含的等量关系是解题的关键．
5. 解：设船在静水中的平均速度是x千米/小时，
根据题意，得4(x＋3)＝
(x－3)，
解得，x＝39.
答：船在静水中的平均速度是39千米/小时．
故选A.
船在顺水中的速度＝船在静水中的速度＋水的速度，船在逆水中的速度＝船在静水中的速度－水的速度.根据船在顺水中的速度×船在顺水中行驶的时间＝船在逆水中的速度×船在逆水中行驶的时间，列出方程解题．
6. 解：设盈利40%的豆浆机进价为x元，
由题意可，得(1＋40%)x＝378，
解得，x＝270.
设亏本20%的豆浆机进价为y元，
由题意，得(1－20%)y＝378，
解得，y＝472.5.
所以这两个豆浆机的进价和是270＋472.5＝742.5(元)，
而这两个豆浆机共卖了378×2＝756(元)，
由此可知这两个豆浆机共盈利756－742.5＝13.5(元)．
答：在这次买卖中，这家商店盈利，盈利13.5元．
故选A.
两个豆浆机共卖了378×2＝756(元)，是盈利还是亏本要看这家商店进这两个豆浆机时一共花了多少钱．进价高于售价就亏本，进价低于售价就盈利，故要分别计算出这两个豆浆机的进价．
7. 解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人，
依题意，得27＋x＝2[19＋(20－x)]，
解得，x＝17.
所以，20－x＝20－17＝3.
答：应调往甲处17人，调往乙处3人．
故选C.
本题中的等量关系为：调入后甲处人数＝调入后乙处人数的2倍．
本题运用直接设元法求解．调配问题是根据调配后的关系列方程的，分析是怎样调配的，特别要注意是彻底调走了，还是调到相关的地方去了．
8. 解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元，
根据进价与利润的和等于售价，得x＋0.25x＝60.
解得，x＝48.
类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是－0.25y元，得y－0.25y＝60.
解得，y＝80.
两件衣服的进价是x＋y＝128元，而两件衣服的售价是60＋60＝120元，
进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.
两件衣服共卖了120(60×2)元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱，如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润是40×25%元；如果卖出后亏损25%，商品利润是40×(－25%)元.
9. 解：设年利率是5%的储蓄了x元，另一种是4%的储蓄存了(500－x)元，
根据题意，得x×5%×1＋(500－x)×4%×1＝23.5.
解这个方程，得x＝350.
所以500－x＝150(元)．
答：年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元．
本题考查的是本金问题，题目中有两个待求的未知数，我们可以设出一个，另一个未知数借助题目条件用第一个未知数表示出来．
解决储蓄问题的关键在于对关系式的正确运用，利息＝本金×利率×期数．
10. 解：设需要甲种草药0 .7x克，乙种草药x克，丙种草药2x克，丁种草药4.7x克，
根据题意，得0.7x＋x＋ 2x＋4.7x＝2100.
解得，x＝250，
所以，0.7x＝175 ，2x＝500，4.7x＝1175.
答：需要甲种草药175克，乙种草药250克，丙种草药500克，丁种草药1175克．
利用甲、乙、丙、丁四种草药成分的和等于2100克为相等关系列出方程．设其中一份为x克，由甲、乙、丙、丁四种草药的质量比，即可用含x的式子表示出来．
比例分配问题中的全部数量＝各种成分的数量值之和.
《3.2 一元一次方程的应用》培优练习
1. 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步，小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，经过2 min 40 s他们第一次相遇，若他们两人同时同地反向出发，则经过( )秒他们第一次相遇？
A．28 B．32 C．35 D．38
2. 一个水池有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是出水管，单开甲管20分钟可将水池注满，单开乙管15分钟可将水池注满，单开丙管25分钟可将满池水放完．现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，又经过( )分钟才能将水池注满．
A．15 B．18 C．20 D．23
3. 某国进行足球赛共赛8轮(即每队均需参赛8场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜( )场.
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
5. 足球比赛的得分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支足球队在某个赛季共需比赛14场．现已比赛8场，负了一场，共得17分．
(1)前8场比赛中，这支球队胜了几场？
(2)这支球队打满14场，最高能得多少分？
(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可达到目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期的目标？
答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. A
4. (1)两人一共走了5圈；(2) 40秒后两人第一次相遇．
5. (1)前8场比赛中，这支球队胜了5场；
(2)打满14场比赛最高能得35分；
(3)后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标．
【解析】
1. 解：设小明的速度为x m/s，则他的哥哥的速度为
m/s，
由题意得：160x＝160×x－400，
解得，x＝5.
则小明的哥哥的速度为5×＝7.5(cm)，
设经过y s他们第一次相遇，
由题意，得：(5＋7.5)y＝400.
解得，y＝32.
答：经过32 s他们第一次相遇．
故选B.
相等关系：小明跑的路程＝哥哥跑的路程－400 m. (1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速度分别为2x m/s和3x m/s. (2)环形运动问题中的等量关系(同时同地出发)：①同向相遇：第一次相遇时快者的路程－第一次相遇时慢者的路程＝跑道一圈的长度；②反向相遇：第一次相遇时快者的路程＋第一次相遇时慢者的路程＝跑道一圈的长度．
2. 解：设又经过x分钟才能将水池注满，
根据题意得：
，
解得，x＝20.
答：又经过20分钟才能将水池注满．
故选C.
在一些工程问题中，工作量未知而又不求工作量时，我们常常把工作量看成整体“1”．设又经过x分钟才能将水池注满，列表如下：
等量关系：甲注水量＋乙注水量－丙放水量＝1.
本题等量关系的实质是：总工作量等于各部分工作量之和；只不过我们要把丙工作量看成“－”工作量．
3. 解：设该队负x场，则平的场数为2x，胜的场数为(8－x－2x)，
根据题意，得3(8－x－2x)＋2x＝17，
解得，x＝1．
所以，8－x－2x＝8－1－2＝5(场)．
答：该队共胜了5场．
故选A.
题中等量关系是：胜场积分＋平场积分＝17．此类问题采用设间接未知数的方法，设某种场数为x，则其余两种场数都可以用含x的式子表示出来，从而可利用相等关系列方程．
4. 解：(1)设x分钟后两人第一次相遇，
由题意，得360x－240x＝400.
解得，x＝
.
(×360＋×240)÷400＝5(圈)．
答：两人一共走了5圈.
(2)设x分钟后两人第一次相遇，
由题意，得360x＋240x＝400.
解得，x＝
．
分钟＝40秒.
答：40秒后两人第一次相遇．
(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．
环形问题中的等量关系：
两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．
5. 解：(1)设前8场比赛中，这支球队胜了x场，则平了(8－1－x)场．
由题意，得3x＋(8－1－x)×1＝17，
解得，x＝5.
答：前8场比赛中，这支球队胜了5场．
(2)要使得分最高，必须在后面的几场比赛中全胜，
因此，打满14场比赛最高能得17＋(14－8)×3＝35(分)．
(3)设后面的6场比赛中，这支球队至少要胜y场，则平(6－y)场．
由题意，得3y＋(6－y)×1＝29－17，
解得，y＝3.
答：后面的6场比赛中，这支球队至少要胜3场，才能达到预期的目标．
(1)设前8场比赛中，这支球队胜了x场，则平了(8－1－x)场．根据8场比赛共得17分，列
出方程即可求出获胜的常数；
(2)要使得分最高，必须在后面的几场比赛中全胜；
(3)理解“至少”的含义是解(3)题的关键．由于比赛结果分为胜、负、平三种，所以要想达到预期的目标，在后面的6场比赛中，负的场数越少时所需要胜的场数越少，由此得到后面的6场比赛中，只能出现胜、平两种比赛结果．
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