嘉定一中 2018-2019 学年第一学期高二期中
一、填空题
1. 已知两个不同向量OA = (1，m )，OB = (m -1，2 )
若OA ^ OB 则实数 m = .
r
2. 已知向量 a 在向量b 的方向上的投影为-2,且 b = 3 则 a ×b = .
3. 在数列{a } 中, 若对一切 n Î N * 都有 a = -3a ，且 lim (a
+ a + a +¼+ a ) = ，则 a 的值为
n n n+1
.
n®¥
2 4 6 2n 2 1
4.已知两条直线 l1 : (m + 3) x + 4 y + 3m - 5 = 0，l2 = 2x + (m + 5) y - 8 = 0，l1∥l2
向量是 .
则直线 l1 的一个方向
5. 若 P1P = - 5 PP2，设 P1P2 = lPP1 则l的值为 .
6. 执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7,则输出 S 的值是 .
|
7. 
已知直线 l 的倾斜角为 a，sina= 3，且这条直线 l 经过点 P(3,5) ， 则直线 l 的一般式方程为
.
8. 直线-x cos 40° + y sin 40° +1 = 0 的倾斜角是 .
ur ur ur ur
9. 两个向量 e1、e2 满足 e1 = 2，e2 = 1，e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1 + 7e2 与向量 e1 + te2 的夹角为钝角,则
实数t 的取值范围是 .
10. 记
n 为数列{a } 的调和平均值, S 为自然数列{n}的前 n 项和,若 H 为数列{S } 的调
1 + 1
a1 a2
+¼+ 1 n n n n
an
和平均数,则lim Hn = .
n®¥ n
11. 
设 A 是平面向量的集合, a 是定向量,对 x Î A 定义 f (x ) = x - 2 (a × x )× a，现给出如下四个向量：
r r æ 2
ö r æ ö
r æ 1 3 ö
①a = (0，0)；②a = ç
4 ， ÷；③a = ç
， ÷；④a = ç -
， ÷ 那 么 对 于 任 意 x，y Î A，使
è
r ur r ur
4 ø è
2 2 ø è
2 2 ø
f (x )× f (y ) = x × y 恒成立的向量 a 的序号是 (写出满足条件的所有向量 a 的序号).
12. 已知 AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若 f (l) =
P 在单位圆上运动时, m 的最大值为 4 ,则线段 AB 的长度为
uuur uuur
AP -lAB (lÎ R ) 的最小值为 m ,当点
.
二、选择题
13. 设直线 x + my + n = 0 的倾斜角度为q,则它关于 y 轴对称的直线的倾斜角是（ ）
A.q B. -q
C.π-q
D π+q
2
14. 若已知极限lim = sin n = 0 则lim
n - 3sin n
的值为（ ）
n®¥
n
- 3
2
n®¥ sin n - 2n
D. - 1
2
ur ur
14.设平面向量 a1、a2、a3 的和a1 + a2 + a3 = 0 如果向量b1、b2、b3 满足 bi
向,其中i = 1，2，3 则（ ）
= 2 ai ，且ai 顺时针旋转30°后bi 同
A. -b1 + b2 + b3 = 0
B. b1 - b2 + b3 = 0
C. b1 + b2 - b3 = 0
D. b1 + b2 + b3 = 0
16. 已知响向量 i 和 j 是互相垂直的单位向量,向量 a 满足 i × a
= n，j × a
= 2n +1，n Î N* 设q 为 i 和的
an 夹角，则（ ）
n n n n
A.qn 随着 n 的增大而增大 B.qn 随着 n 的增大而减小
C.随着 n 的增大,qn 先增大后减小 D.随着 n 的增大,qn 先减小后增大三、解答题
17. 如图所示,在△ABC 中，D 是 AC 的中点,E 是 AB 延长线上的一点,且 AE=2BE,试用向量
CA、CB 分别表示 AB、DE.
|
æ 1 ö 1
-1 4
ç
18. 
已知 P:矩阵图ç
÷ 的某个列向量的模不小于 2；Q:行列式 x - 2m
0 -3 中元素-1的代
ç -2 1
数余子式的值不小于 2,若 P 是 Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围。
19. 
设 m Î R 过定点 A 的动直线 x + my = 0 和过定点 B 的动直线 mx - y - m + 3 = 0 交于点 P,求 PA × PB
的最大值。
20. 某公司全年的纯利润为b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下首先将职工技工作业
绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得奖金
元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职
工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金。
(1)设 ak (1 £ k £ n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3
并用 k、n 和b 表示 ak (不必证明)；
(2)证明 ak > ak +1 (k = 1，2，¼，n -1)
并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与 n 和b 有关,记为 Pn (b)
对常数b ,当n 变化时,求lim P (b) .(可用公式lim æ1-
1 ön
÷
= 1 )
n®¥
n®¥ è n ø e
21. 
已知一列非零向量 a ，n Î N* 满足:
a1 = (10，- 5)，an = (xn，yn ) = k (xn -1 - yn -1，xn -1 + yn -1 )(n ³ 2 ) (其中 k 是非零常数).
uur
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 求向量 an-1 与 an 夹角q的弧度数(n ³ 2)
(3) 当 k = 1 时,把 a ，a ，¼，a 中所有与 a 共线的向量按原来的顺序排成一列,记为
2 1 2 n 1
d1，d2，¼，dn 令OD = d1，d2，¼，dn
O 为坐标原点,求点列{Dn } 的极限点 D 的坐标。
(注:若点 Dn 坐标为(tn，vn ) 且lim tn = t，lim vn = v 则称点 D (t，v) 为点列{Dn } 的极限点).
n®¥ n®¥
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