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2017-2018上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷

2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷

　

一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）

1．数1与9的等差中项是______．

2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．

3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．

4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．

5．等差数列{a_n}中，a₁=﹣1，a₃=3，a_n=9，则n=______．

6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．

7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．

8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．

9．关于x的方程=0的解为______．

10．若无穷等比数列{a_n}的各项和为3，则首项a₁的取值范围为______．

11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．

12．定义=（n∈N^*）为向量=（x_n，y_n）到向量=（x_n+1，y_n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．

　

二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)

13．用数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（　　）

A．1+a+a² B．1+a+a²+a³ C．1+a D．1

14．下列命题正确的是（　　）

A．若（a_n•b_n）=a≠0，则a_n≠0且b_n≠0

B．若（a_n•b_n）=0，则a_n=0或b_n=0

C．若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，则=a₁+a₂+…+a_n

D．若无穷数列{a_n}有极限，则a_n=a_n+1

15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（　　）

A． +=+ B． +=+ C． +=+ D． +=+

16．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若已知S₆＜S₇，S₇＞S₈，则下列叙述中正确的个数有（　　）

①S₇是所有S_n（n∈N^*）中的最大值；

②a₇是所有a_n（n∈N^*）中的最大值；

③公差d一定小于0；

④S₉一定小于S₆．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

三、解答题

17．已知，x，y的方程组．

（1）求D，D_x，D_y；

（2）当实数m为何值时方程组无解；

（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．

18．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=，求T_n的值．

19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．

（1）若∥，求的坐标；

（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．

20．已知无穷等数列{a_n}中，首项a₁=1000，公比q=，数列{b_n}满足b_n=（lga₁+lga₂+…+lga_n）．

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）求数列{b_n}的前n项和的最大值．

21．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（n∈N^*，p，q为常数），a₁=2，a₂=1，a₃=q﹣3p．

（1）求p，q的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）记集合M={n|λ≥，n∈N^*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．

　

2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

　

一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）

1．数1与9的等差中项是　5　．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．

【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，

则可得2a=1+9，

解得a=5，

故答案为：5．

　

2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是　　．

【考点】二元一次方程组的矩阵形式．

【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可

【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为

可得到二元线性方程组的表达式

∴

故答案为

　

3．行列式中元素8的代数余子式的值为　﹣1　．

【考点】三阶矩阵．

【分析】由代数余子式的定义A₁₂=﹣=﹣1即可求得答案．

【解答】解：设A=，

元素8的代数余子式A₁₂=﹣=﹣1；

故答案为：﹣1．

　

4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=　（，）或（﹣，﹣）　．

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，

∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），

∴向量的单位向量==±=±（，）．

故答案为：（，）或（﹣，﹣）．

　

5．等差数列{a_n}中，a₁=﹣1，a₃=3，a_n=9，则n=　6　．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．

【解答】解：等差数列{a_n}中，a₁=﹣1，a₃=3，

∴a₃=﹣1+2d=3，

∴d=2，

∵a_n=9=﹣1+（n﹣1）×2，

解得n=6，

故答案为6．

　

6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为　　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．

【解答】解：∵⊥，

∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，

解得x=，

故答案为：﹣．

　

7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为　﹣3　．

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．

【解答】解：∵=﹣，∴P，P₁，P₂三点共线，且P₂在线段P₁P的反向延长线上，P₂P₁=P₂P，

∴=﹣3，

故答案为：﹣3．

　

8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为　1320　．

【考点】程序框图．

【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．

【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．

判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；

判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10

判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；

判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．

故答案为：1320．

　

9．关于x的方程=0的解为　x=2或x=3　．

【考点】三阶矩阵．

【分析】将行列式展开，整理得=x²﹣5x+6，由x²﹣5x+6=0，即可求得x的值．

【解答】解： =1×2×9+x×4×1+1×3×x²﹣2×1×x²﹣1×9×x﹣1×3×4=x²﹣5x+6，

∴x²﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，

故答案为：x=2或x=3．

　

10．若无穷等比数列{a_n}的各项和为3，则首项a₁的取值范围为　（0，3）∪（3，6）　．

【考点】数列的极限．

【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S_n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a₁的取值范围．

【解答】解：设等比数列的公比为q，

依题意知|q|＜1且q≠0，

∴S_n=，

∴S_n==3，

可得q=1﹣∈（﹣1，1），

即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，

解得0＜a₁＜3或3＜a₁＜6．

故答案为：（0，3）∪（3，6）．

　

11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是　[0，1]　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时， •取得最小值；当点M位于边BC时， •取得最大值．即可得出．

【解答】解：如图所示，

由数量积的意义可得：

当点M位于边AD时， •取得最小值0；

当点M位于边BC时， •取得最大值：1．

∴•的取值范围是[0，1]．

故答案为：[0，1]．

　

12．定义=（n∈N^*）为向量=（x_n，y_n）到向量=（x_n+1，y_n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=　（）^n﹣1　．

【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）^n﹣1．

【解答】解：由=，

∴，

当n=1， =（cosα，sinα），||=cos²α+sin²α=1=（）⁰，

∴，

=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），

||===（），

=2（﹣sinx，cosx），

||==2=（）²，

=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），

||=2=2=（）³，

=4（﹣sinx，﹣cosx），

||=4=4=（）⁴，

…

∴||=（）^n﹣1，

故答案为：（）^n﹣1．

　

二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)

13．用数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（　　）

A．1+a+a² B．1+a+a²+a³ C．1+a D．1

【考点】数学归纳法．

【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．

【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=”，

在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a²．

故选：A．

　

14．下列命题正确的是（　　）

A．若（a_n•b_n）=a≠0，则a_n≠0且b_n≠0

B．若（a_n•b_n）=0，则a_n=0或b_n=0

C．若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，则=a₁+a₂+…+a_n

D．若无穷数列{a_n}有极限，则a_n=a_n+1

【考点】数列的极限．

【分析】对于A，可举a_n=n，b_n=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a_n=n，b_n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a_n=（）^n﹣1，S_n=，求出极限即可判断；对于D，可举a_n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．

【解答】解：对于A，若（a_n•b_n）=a≠0，可举a_n=n，b_n=，

即有a_n不存在， =0，故A错；

对于B，若（a_n•b_n）=0，可举a_n=n，b_n=，则a_n不存在， b_n=0，故B错；

对于C，若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，可举a_n=（）^n﹣1，S_n=，

即有a_n=0， S_n=2，显然=a₁+a₂+…+a_n不成立，故C错；

对于D，若无穷数列{a_n}有极限，可举a_n=， =0，显然=0，故D正确．

故选：D．

　

15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（　　）

A． +=+ B． +=+ C． +=+ D． +=+

【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．

【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．

【解答】解：∵=，，∴，∴．

故选：B．

　

16．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若已知S₆＜S₇，S₇＞S₈，则下列叙述中正确的个数有（　　）

①S₇是所有S_n（n∈N^*）中的最大值；

②a₇是所有a_n（n∈N^*）中的最大值；

③公差d一定小于0；

④S₉一定小于S₆．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】数列的函数特性．

【分析】利用等差数列的性质求解．

【解答】解：∵a₇＞0，a₈＜0，∴S₇最大，故①正确；

∵d＜0，∴a₁最大，故②错误；

由s₆＜s₇，S₇＞S₈可得S₇﹣S₆=a₇＞0，S₈﹣S₇=a₈＜0

∴a₈﹣a₇=d＜0，故③正确；

S₉﹣S₆=a₇+a₈+a₉=3a₈＜0，故④正确．

故选：C．

　

三、解答题

17．已知，x，y的方程组．

（1）求D，D_x，D_y；

（2）当实数m为何值时方程组无解；

（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．

【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．

【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D_x=﹣2，D_y=m﹣2；

（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；

（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．

【解答】解：（1）=，

D=m﹣4，D_x=﹣2，D_y=m﹣2                            

（2）由A=，当丨A丨=0，

即=m﹣4=0，解得：m=4，

∴当m=4，方程组无解                                     

（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，

由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，

∴方程的解集为：．

　

18．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=，求T_n的值．

【考点】数列的极限．

【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．

【解答】解：（1）当；

（2）当，

由．

综上得．

　

19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．

（1）若∥，求的坐标；

（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．

【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．

（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．

【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．

∴可设=（2x，x），

==（1﹣2x，7﹣x），

=﹣=（5﹣2x，1﹣x），

∵∥，

∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，

解得x=．

∴=．

（2），

∴k=2时， •取的最小值﹣8，此时，

∴．

　

20．已知无穷等数列{a_n}中，首项a₁=1000，公比q=，数列{b_n}满足b_n=（lga₁+lga₂+…+lga_n）．

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）求数列{b_n}的前n项和的最大值．

【考点】数列的求和．

【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：（1）a_n=1000×=10^4﹣n，

=，

∴lga_n=4﹣n，

∴．

（2）设数列{b_n}的前n项之和为T_n，则=﹣+，

当n=6，7时，T_n取得最大值．

　

21．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（n∈N^*，p，q为常数），a₁=2，a₂=1，a₃=q﹣3p．

（1）求p，q的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）记集合M={n|λ≥，n∈N^*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．

【考点】数列递推式．

【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；

（2）把（1）中求得的p，q值代入S_n+1=pS_n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a_n}是等比数列，进一步得到通项公式；

（3）求出数列{a_n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，得，

即，解得；

（2）由（1）知，，①

当n≥2时，，②

①﹣②，得（n≥2），

又，

∴数列{a_n}是首项为2，公比为的等比数列．

∴{a_n}的通项公式为（n∈N^*）；

（3）由，得，

得，令，

∵，∴f（n）为递增数列，

且，

∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．

　

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