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2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）月考数学试卷

一、填空题

 

1．（3 分）直线 l：5x﹣12y+5＝0 的单位方向向量为                        ．

 

2（．3 分）已知，且与的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是                             ．

3．（3 分）若直线 l 过点               ，且与直线                的夹角为，则直线 l

的方程是       ．

4．（3 分）若直线 l：y＝kx﹣与直线 2x+3y﹣6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ．

5．（3 分）已知直线 l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程为 ．

6．（3 分）函数的最小值为                   ．

7．（3 分）在△ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ABC的面积为 1，则• + ² 的最小值为                                          ．

 

 

 

 

 

8．（3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于点 A，Q 为小圆上的点，则的取值范围是                                             ．

 

 

 

 

9．（3 分）已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 • ＝     ＝，若 为平面内的任意单位向量，则| |+|2 |+3| |的最大值为                                      ．

10．（3 分）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题

中正确的是               （写出所有正确命题的编号）．

 

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y＝kx+b 不经过任何整点

③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点

④直线 y＝kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线． 二、选择题

11．（3 分）已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为△ABC 内一点，若分别

满足下列四个条件：

 

①a +b +c ＝

 

②tanA• +tanB• +tanC• ＝

 

③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝

 

④ + + ＝

 

则点 O 分别为△ABC 的（    ）

 

A．外心、内心、垂心、重心              B．内心、外心、垂心、重心

 

C．垂心、内心、重心、外心              D．内心、垂心、外心、重心

 

12．（3 分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线 l1、l2 两侧，且 P 到 l1，l2 的距离分别为 1，3，点 M，N 分别在 l1，l2 上，|+ |＝8，则 • 的最大值为（                                              ）

 

 

 

 

 

A．15                        B．12                          C．10                        D．9

13．（3 分）如图所示，∠BAC＝，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，AD＝1，点 P

是圆 M 及其内部任意一点，且                 （x，y∈R），则 x+y 的取值范围是（         ）

A．        B．                                     C．  D．

14．（3 分）已知点 M（a，b）与点 N（0，﹣1）在直线 3x﹣4y+5＝0 的两侧，给出以下结论：

①3a﹣4b+5＞0；

②当 a＞0 时，a+b 有最小值，无最大值；

③a²+b²＞1；

④当 a＞0 且 a≠1 时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（   ）

A．1                          B．2                            C．3                          D．4

 

15．（3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、

、 ．若 m、M 分别为（+ + ）•（ + + ）的最小值、最大值，其中{i，

j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则 m、M 满足（    ）

A．m＝0，M＞0        B．m＜0，M＞0          C．m＜0，M＝0        D．m＜0，M＜0

 

三、解答题

 

16．已知直线 l：（2a+b）x+（a+b）y+a﹣b＝0 及点 P（3，4）．

 

（1）  证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标．

 

（2）  当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程．

 

17.   如图所示，∠PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ＝120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC， 其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是 1000 元/米．

（1）    若规划在三角形 ABC 区域内开发水上游乐项目，要求△ABC 的面积最大，那么 AB

 

和 AC 的长度分别为多少米？

 

（2）    在（1）的条件下，建直线通道 AD 还需要多少钱？

 

 

 

 

 

 

 

18.   定义“矩阵”的一种运算     •              ，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的变换下成点 ．设矩阵 A＝

（1）  已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为，试求点 P 的坐标；

（2）  是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？ 若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．

19.   小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当 P、A、B 三点共线，O 为直线外一点，且时，x+y＝1（如图 1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．

（1）        当 x+y＞1 或 x+y＜1 时，O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出

 

你的结论，并说明理由

 

（2）        如图 2，射线 OM∥AB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内

（不含边界）运动，且             ，求实数 x 的取值范围，并求当时，实数 y 的取值范围．

（3）         过 O 作 AB 的平行线，延长 AO、BO，将平面分成如图 3 所示的六个区域，且

 

，请分别写出点 P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数 x，y 应满足的条件．（不必证明）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上） 月考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、填空题

 

1．（3 分）直线 l：5x﹣12y+5＝0 的单位方向向量为    （         ，   ），（﹣      ，﹣    ）  ．

 

【分析】取直线 l：5x﹣12y+5＝0 的方向向量为±（5，12），即可求出直线的单位方向向量．

【解答】解：取直线 l：5x﹣12y+5＝0 的方向向量为±（5，12），

则该直线的单位方向向量为（，），（﹣，﹣），故答案为：（，），（﹣，﹣）

【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（3 分）已知，且与的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是   （﹣

∞，﹣2）∪（﹣2， ） ．

 

【分析】根据两向量的夹角为锐角知 • ＞0 且、 不共线，由此求出 k 的取值范围．

 

【解答】解： ，且 与 的夹角为锐角，

∴ • ＝1﹣2k＞0，解得 k＜， 又 、 不共线，∴k≠﹣2，

∴实数 k 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．

【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题．

3．（3 分）若直线 l 过点               ，且与直线                的夹角为，则直线 l

的方程是 x＝﹣2，或 x+   y﹣1＝0    ．

 

【分析】先求出直线 m 的倾斜角，再根据直线 l 和直线 m 夹角为    ，可得直线 l 的倾斜

角，进而得到直线 l 的斜率，从而求得直线 l 的方程．

【解答】解：∵直线 l 过点            ，且与直线               的夹角为 ， 且直线 m 的斜率为＝ ，即直线 m 的倾斜角为，

设直直线 l 的倾斜角为θ，则θ＝+ ＝ ，或θ＝π+（ ﹣ ）＝ ， 故直线 m 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为 tan＝﹣tan ＝﹣ ，

故直线 l 的方程为 x＝﹣2，或 y﹣＝﹣         （x+2），即直线 l 的方程为 x＝﹣2，或 x+y

 

﹣1＝0，

故答案为：x＝﹣2，或 x+y﹣1＝0．

【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题．

 

4．（3 分）若直线 l：y＝kx﹣与直线 2x+3y﹣6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ．

【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0，联立得到关于 k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．

 

【解答】解：联立两直线方程得：              ，

 

将①代入②得：x＝       ③，把③代入①，求得 y＝， 所以两直线的交点坐标为（                            ，      ），

因为两直线的交点在第一象限，所以得到            ，且 ， 解得：k＞ ，

设直线 l 的倾斜角为θ，则 tanθ＞，所以θ∈（ ，）．故答案为： ．

【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点， 掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．

5．（3 分）已知直线 l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的

方程为 x﹣2y﹣1＝0  ．

 

【分析】先解方程组得 l 与 l1 的交点（1，0）也在 l2 上，然后在 l1 上去一点（2，2），则该点关于 l 的对称点（3，1）也在 l2 上，用两点式即可求得 l2 的方程．

【解答】解：联立 解得 ，所以三条直线的交点为（1，0）

在 l1 上取点（2，2），依题意该点关于 l 的对称点（3，1）在 l2 上

由两点式得 l2 的方程为＝ ，化简得 x﹣2y﹣1＝0

故答案为：x﹣2y﹣1＝0．

 

【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题．

 

6．（3 分）函数的最小值为                    ．

【分析】利用函数的表达式，转化为 x 轴上的点与（1，﹣3），（0，1）距离和的最小值．

 

【解答】解：函数 ＝ + ， 就是 x 轴上的点与（1，﹣3）以及（0，1）距离之和的最小值，

可得最小值为： ＝ ． 故答案为： ．

【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用．

 

7．（3 分）在△ABC 中，D、E 分别是 AB，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ABC的面积为 1，则• + ² 的最小值为                                          ．

 

 

 

 

 

【分析】由三角形的面积公式，S△ABC＝2S△MBC，则 S△MBC＝，根据三角形的面积公式

及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则 • + ²，利用导数求得函数的单调性， 即可求得则 • + ² 的最小值；

方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得  • + ² 的最小值．

【解答】解：∵D、E 是 AB、AC 的中点，

∴A 到 BC 的距离＝点 A 到 BC 的距离的一半，

∴S△ABC＝2S△MBC，而△ABC 的面积 1，则△MBC 的面积 S△MBC＝，

S△MBC＝ 丨 MB 丨×丨 MC 丨 sin∠BMC＝，

∴丨 MB 丨×丨 MC 丨＝．

∴   •   ＝丨 MB 丨×丨 MC 丨 cos∠BMC＝．

由余弦定理，丨 BC 丨 ²＝丨 BM 丨 ²+丨 CM 丨 ²﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨 cos∠BMC， 显然，BM、CM 都是正数，

∴丨 BM 丨 ²+丨 CM 丨 ²≥2 丨 BM 丨×丨 CM 丨，

∴丨 BC 丨 ²＝丨 BM 丨 ²+丨 CM 丨 ²﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨cos∠BMC＝2×

﹣2×．．

∴   •   +     2≥          +2×          ﹣2×          ＝ ，

方法一：令 y＝             ，则 y′＝              ，令 y′＝0，则 cos∠BMC＝， 此时函数在（0， ）上单调减，在（ ，1）上单调增，

∴cos∠BMC＝ 时， 取得最小值为     ，

• + ² 的最小值是，

方法二：令 y＝，则 ysin∠BMC+cos∠BMC＝2，则        sin（∠BMC+α）

＝2，tanα＝ ，

则 sin（∠BMC+α）＝        ≤1，解得：y≥ ，

 

• + ² 的最小值是， 故答案为：   ．

【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为 2 和 1，点 P 在大圆上，PA 与小圆相切于点 A，Q 为小圆上的点，则的取值范围是 [3﹣                                        ，3+     ]    ．

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设 Q（cosα，sinα），A（0，﹣1），取 P（﹣，

﹣1），

 

利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围．

 

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设 Q（cosα，sinα），A（0，﹣1），

则 P（±，﹣1），不妨取 P（﹣，﹣1），则＝（，0），＝（cosα+，sinα+1），

∴ • ＝ （cosα+ ）＝ cosα+3； 又 cosα∈[﹣1，1]，

∴3﹣ ≤ cosα+3≤3+ ，

 

即 的取值范围是[3﹣ ，3+ ]． 故答案为：[3﹣ ，3+ ]．

 

 

 

 

 

 

 

 

【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题．

 

9．（3 分）已知平面上三个不同的单位向量，，满足•＝＝  ，若为平面内的

 

任意单位向量，则| |+|2 |+3| |的最大值为         ．

 

【 分 析 】 柯 西 不 等 式 可 得 ：（ |  |+|2  |+3|  | ） ² ≤ （ 1²+2²+3² ）

 

（| |²+| |²+3| |²）

 

＝14（（||²+||²+||²），再根据向量的数量积公式计算即可．

 

【 解答】 解： 由柯西不等式可得 ：（ |  |+|2  |+3|  | ） ² ≤ （ 1²+2²+3² ）

 

（| |²+| |²+| |²）

＝14（（||²+||²+||²），由于 • ＝ ＝ ，

∴ 与 ， 与 的夹角为，

下面求| |²+| |²+| |²， 由于| |²＝|﹣ |²，

不妨将 换成﹣ ，设 与   夹角为θ，

则|        |2+|        |2+|       |2＝cos2（ ﹣θ）+cos2（π﹣θ）+cos2（ ﹣θ）+

＝ + •cos（ π﹣θ）+ + cos（2π﹣2θ）+ + cos（ π﹣2θ）

＝ + [cos（ π﹣2θ）+cos2θ+ + cos（ π﹣2θ）]

＝ + （﹣ cos2θ+ sin2θ+cos2θ﹣ cos2θ﹣ sin2θ）

＝ ，

∴（|        |+|2       |+3|        |）²≤14× ＝21

∴| |+|2 |+3| |的最大值为 故答案为： ．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题．

 

10．（3 分）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是    ①③⑤     （写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y＝kx+b 不经过任何整点

③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点

④直线 y＝kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线．

【分析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线 l 过两个不同的整点，设直线 l 为 y＝kx，把两整点的坐标代入直线 l 的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上，利用同样的方法，得到直线 l 经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当 k，b 都为有理数时，y＝kx+b 可能不经过整点，

例如 k＝，b＝ ，说明④是假命题．

【解答】解：①令 y＝x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；

②若 k＝，b＝，则直线 y＝x+经过（﹣1，0），命题②错误；

③设 y＝kx 为过原点的直线，若此直线 l 过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线 l 方程得：y1＝kx1，y2＝kx2，

两式相减得：y1﹣y2＝k（x1﹣x2），

则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线 y＝kx 上且为整点，

通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点，则③正确；

④当 k，b 都为有理数时，y＝kx+b 可能不经过整点，例如 k＝，b＝ ，故④不正确；

⑤令直线 y＝x 恰经过整点（0，0），命题⑤正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．

故答案为：①③⑤．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，说明一个命题为假命题，只需举一反例即可，   要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，考查学生对题中新定义的理解能力，   是中档题．

二、选择题

 

11．（3 分）已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，O 为△ABC 内一点，若分别

满足下列四个条件：

 

①a +b +c ＝

 

②tanA• +tanB• +tanC• ＝

 

③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝

 

④ + + ＝

 

则点 O 分别为△ABC 的（    ）

 

A．外心、内心、垂心、重心              B．内心、外心、垂心、重心

 

C．垂心、内心、重心、外心              D．内心、垂心、外心、重心

 

【分析】先考虑直角三角形 ABC，可令 a＝3，b＝4，c＝5，可得 A（0，4），B（3，0）， C（0，0），设 O（m，n），由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰三角形 ABC，底角为 30°，设 C（﹣1，）， B（2，0），A（0，0），O（x，y），由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．

【解答】解：先考虑直角三角形 ABC，可令 a＝3，b＝4，c＝5， 可得 A（0，4），B（3，0），C（0，0），设 O（m，n），

①a +b +c＝ ，即为 3（﹣m，4﹣n）+4（3﹣m，﹣n）+5（﹣m，﹣n）＝（0， 0），

即有﹣12m+12＝0，﹣12n+12＝0，解得 m＝n＝1，

 

即有 O 到 x，y 轴的距离为 1，O 在角 BCA 的平分线上，且到 AB 的距离也为 1， 则 O 为△ABC 的内心；

③sin2A• +sin2B• +sin2C• ＝ ，

即为（﹣m，4﹣n）+（3﹣m，﹣n）+0（﹣m，﹣n）＝（0，0），可得 3﹣2m＝0，4﹣2n＝0，解得 m＝，n＝2，

由|OA|＝|OB|＝|OC|＝ ，故 O 为△ABC 的外心；

④++＝，可得（﹣m，4﹣n）+（3﹣m，﹣n）+（﹣m，﹣n）＝（0，0），即为 3﹣3m＝0，4﹣3n＝0，解得 m＝1，n＝ ，