专题18 利用函数图象研究函数性质及新题型
题型一、利用函数图象研究函数性质
第一步：确定函数自变量取值范围；
第二步：列表、描点、连线；
第三步：根据函数图象解答相关题目.
题型二、定义新题型
提出一些新颖的概念，根据概念解答相关题型.
【例1】（2019·开封模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数
（x≠0）的图象与性质．
因为
，即
，所以我们对比函数
来探究．
列表：
|
x |
… |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
|
… |
|
|
1 |
2 |
4 |
-4 |
-2 |
-1 |
|
|
… |
|
|
… |
|
|
2 |
3 |
5 |
-3 |
-1 |
0 |
|
|
… |
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以
相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而__________；（填“增大”或“减小”）
②
的图象是由
的图象向_______平移______个单位而得到；
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
（3）函数
与直线y=-2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．
【答案】（1）见解析；（2）增大；上，1；（0,1）；（3）见解析.
【解析】解：（1）如图所示；
（2）①增大；②上，1；③（0,1）；
（3）联立：
与直线y=-2x+1，
解得：x=1，y=－1或x=－1，y=3，
∴S△AOB=
×2×4－
×1×4－
×2×1=1.
【变式1-1】（2019·郑州模拟）探究函数
的图象与性质
（1）函数
的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中可能是函数
的图象的是
（3）对于函数
，当x>0时，求y的取值范围.
解：∵x>0，
∴
=
=
+ ，
∵
≥0，
∴y≥ .
拓展运用
（4）若函数
，则y的取值范围是 .
【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）4，4；（4）y≥1或y≤－11.
【解析】解：（1）由分式的意义，知x≠0；
（2）∵x≠0，
∴A错误；
当x>0时，y>0，故B、D错误，
∴选项C正确；
（3）4；4；
（4）当x>0时，
=
=
∵
≥0，
∴y≥1；
当x<0时，
=
=
，
∵
≤0
∴y≤－11；
综上所述，y≥1或y≤－11.
【例2】（2018·洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax－a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”. 有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线
与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，(－2，
)，（1，0）；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）抛物线
，由定义知：
其梦想直线的解析式为：
，
联立
，
，解得：
或
，
故答案为：
，(－2，
)，（1，0）.
（2）由题意知C(－3,0)，过A作AG⊥y轴于G，
①当点N在y轴上时，△AMN是梦想三角形，
AC=AN=
，
由抛物线的对称轴x=－1，A(－2，
)，得：AG=2，G(0，
)，
在Rt△ANG中，由勾股定理得：
GN=3，
∴N(0,
+3)或(0,
－3)，
当ON=
+3时，则MN＞OG＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N(0,
－3)，
②当点M在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
即M点在坐标原点，M(0,0)，
在Rt△AGM中， AG=2，GM=
，tan∠AMG=
，
∴∠AMG=30°，
∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°，
过点N作NP⊥x轴，
在Rt△NMP中，MN=CM=3，
∴NP=
，OP=
，即N(
,
),
综上所述，点N的坐标为(0,
－3)，(
,
).
（3）设E(－1，m),F(n，
)，
∵A(－2，
)，C(－3,0)，
①当四边形ACEF是平行四边形时，有：
，
解得：
，
即E(－1，
)，F(0，
)；
②当四边形AECF是平行四边形时，有：
，
解得：
，
即E(－1，
)，F(－4，
)；
③当四边形AEFC是平行四边形时，有：
，
解得：
，
此时F与A重合，不符题意，舍去；
综上所述，E(－1，
)，F(－4，
)或E(－1，
)，F(0，
).
【变式2-1】（2019·安阳一模）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
（2）若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
（3）若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2）
；（3）（4）见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点，
∴任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）∵一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，
∴a＝1，b＝0，c＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2，
当x＝0，y＝﹣2，
当y＝0，解得，x＝
，
∴“抛物线三角形”的面积为
×（
+
）×2＝2
故答案为：2
.
（3）由题意得：抛物线解析式为：y＝﹣x2+2bx，
与x轴交点为：（0，0），（2b，0）；
若“抛物线三角形”是个直角三角形，则是等腰直角三角形，
∴顶点为（b，b）或（b，﹣b），
①当顶点为（b，b）时，
有：b＝﹣b2+2b2，
解得b＝0（舍去）或b＝1
∴y＝﹣x2+2x，
②当顶点为（b，﹣b）时，
有：﹣b＝﹣b2+2b2，
解得b＝0（舍去）或b＝﹣1
∴y＝﹣x2﹣2x，
（4）∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
①y＝﹣x2+2x，
设P（a，﹣a2+2a），
则Q（a，0）
则|﹣a2+2a|＝|2﹣a|，
解得：a＝1（舍）或a＝2（舍去）或a=－1，
∴P（﹣1，﹣3）；
②y＝﹣x2﹣2x，
同理得：P（1，3）；
综上所述，点P（﹣1，﹣3）或（1，3）．
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