专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识
模型一、A字形（手拉手）及其旋转
模型二、K字型及其旋转
【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．
（1）问题发现
当 α=0°时，
= ，β=
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE 旋转过程中，当 DE∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．
图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，AC=4
，CE=AE=2
，BD=AD=2，
∴
=
，β=∠A=45°，
（2）无变化，理由如下：
延长CE交BD于F，
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴
，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴
,
∠ABD=∠ACE，
∴∠CFB=45°，
即β=∠CFB=45°.
(3)①如图所示，
S=
BC·BE
=
×4×（4-2
）=8-4
；
②如下图所示，
S=
BC·BE
=
×4×（4+2
）=8+4
；
综上所述，在△ADE旋转过程中，DE∥AC时，此时△CBE的面积为8－4
或8+4
.
【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD=6，DE∥AB，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．
（1）问题发现
①当 α=0°时，
= ；
②当 α=90°时，
= ．
（2）拓展探究
请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，
是否发生变化？根据图2证明你的猜想．
（3）问题解决
在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD=2
时，BE= ，此时α= ．
图1 图2
【答案】（1）
，
；（2）见解析；（3）
；60或300.
【解析】解：（1）∵AB=10，AC=8，
∴由勾股定理得：BC=6，
①∵DE∥AB，
∴
,
即
，
∴CE=
，
∴BE=
，
∴
=
；
②由勾股定理得：AD=10，BE=
，
∴
=
；
（2）不变化，理由如下：
由题意知：△DCE∽△ACB，
∴
，
由旋转性质得：∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴
,
即
.
（3）由(2)知
，
∵AD=2
，
∴BE=
,
如图，过D作DF⊥AC于F，
设AF=x，则CF=8－x，
由勾股定理得：
（2
）2－x2=62－（8－x）2，
解得：x=5，
即AF=5，CF=3，
由CD=6，得∠FDC=30°，
∴∠DCF=60°，即α=60°；
同理可得，当α=300°时，AD=2
，
答案为：
；60°或300°.
【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则
＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则
＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
图1 图2 图3 备用图
【答案】（1）1；（2）①
；②见解析．
【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴
=
，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴
=
=1，即
=1，
（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，
∴
=
=
=
，即
=
，
②成立．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴
=
，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴
=
=
，
∴
=
．
【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，
＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．
图1 图2 备用图
【答案】（1）
，
，
；（2）（3）见解析；
【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，
∴DG＝EF＝3，AG＝11，
∵CE＝4，CD＝6，
∴FG＝DE＝2，
Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝
，
同理，BE＝
，
∴
=
.
（2）
的大小无变化，理由如下：
连接AC，
∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，
∴
，
，
∴
=
，
∵∠CEF＝∠ABC＝90°，
∴△CEF∽△CBA，
∴
，∠ECF＝∠ACB，
∴
，∠ACF＝∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴
，即
的大小无变化；
（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：
①E在A、F之间，如图，连接AC，
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，
同理得：CF＝5，
由（2）知：
，
Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝2
，
∴AF＝AE+EF＝2
+3，
∴BE＝
AF＝
（2
+3）＝
；
②点F在A、E之间时，如图所示，连接AC，
同理得：AF＝AE﹣EF＝2
﹣3，
∴BE＝
AF＝
（2
-3）＝
；
综上所述，BE的值为
或
．
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