专题09三角函数实际应用题
模型一
模型二
【例1】（2018·河南第一次大联考）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：
）
【答案】见解析.
【解析】解：如图，过点P作PH⊥AC于H，
由题意得：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∠APB=30°，
∴AB=BP=120，
在Rt△PBH中，PH=BP·sin∠PBH=120×
=60
≈103.92，
∵103.92>100，
∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区.
【变式1-1】（2017· 新野一模）如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其AB的坡角由原来的43°改为30°．已知原传送带AB长为5米．求新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，
≈1.41，
≈1.73）
【答案】见解析．
【解析】解：过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，如图所示，
由题意知：在Rt△ADB中，AB=5米，∠ABD=43°，
∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41米，
BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66米．
在Rt△ADC中，AC= 
≈6.82米，
在Rt△ACD中，AC=6.82，∠ACD=30°，
CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91米．
∴BC=CD﹣BD≈2米．
∴新旧货物传送带着地点B、C之间大约相距2米．
【变式1-2】（2019·洛阳三模）今年 3 月以来受天气影响火灾频发，为了提升营救速度，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者．在消防车上点 A 处测得点 B 和点C 的仰角分别是 45°和 65°，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米．为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？
（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
» 1.4 ）
【答案】见解析.
【解析】解：过点A作AD⊥CN于点D，
由题意知：∠CAD=65°，∠BAD=45°，BN=10.5，DN=2.5，
∴BD=BN-DN=8，
AD=BD=8，
在Rt△ACD中，CD=AD·tan∠CAD≈16.8，
∴BC=CD－BD=16.8－8≈9，
即云梯需要继续上升的高度 BC 约为9米.
【例2】（2019·周口二模）在中国人民解放军海军70华诞之际，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平4月23日出席在青岛举行的庆祝人民海军成立70周年海上阅兵活动，在雄壮的乐曲声中，习近平总书记检阅海军仪仗队，随后登上检阅舰，14时30分，海上阅舰式正式开始．在潜艇群之后，排在驱逐舰群首位的是055型驱逐舰——南昌舰，舷号喷涂为101．南昌舰位于海面上的A处，观测到检阅舰P位于它的北偏西67.5°方向上，南昌舰以10海里/时的速度向正北方向行驶，30分钟到达B处，这时观测到检阅舰P位于南昌舰的南偏西30°方向，求此时南昌舰所处位置B与检阅舰P的距离？（结果精确到0.1，参考数据：sin67.5°≈
，cos67.5°≈
，tan67.5°≈
，
≈1.73）
【答案】见解析.
【解析】解：如图，过P作PH⊥AB于H，
由题意得：AB=5，∠ABP=30°，∠BAP=67.5°，
设PH=x，则BH=
x，
在Rt△APH中，AH=PH÷tan∠A=
x，
∴AB=BH+AH=
x+
x，
即
x+
x=5，
解得：x≈2.3，
∴BP=2x=4.6，
即此时南昌舰所处位置B与检阅舰P的距离约为4.6海里.
【变式2-1】（2019·商丘二模）如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯楼的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为60°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD＝15米，求电梯楼的高度BC．（结果精确到0.1米，参考数据：
≈1.73，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
【答案】见解析.
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CE＝AD＝15米，
在Rt△ACE中，AE＝
≈
≈30.61（米），
在Rt△ABE中，BE＝AE•tan60°≈52.96（米），
∴BC＝CE+BE＝15+52.96≈68.0（米）．
即电梯楼的高度BC为68.0米．
【例3】（2019·河南南阳一模）如图是篮球架的实物图和示意图，已知底座BC=0.6m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F与篮筐D的距离DF=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，cos75°≈3.732，
≈1.414，
≈1.732）
【分析】要求篮筐D到地面的距离，需将DE延长交CB延长线于M，过A作AG⊥EM于G，则DM=FG+GM－DF，在利用三角函数求得FG、GM的长代入即可得到结果.
【解析】解：延长DE延长交CB延长线于M，过A作AG⊥EM于G，如图所示，
在Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACB=0.60×3.732=2.2392，
∴GM=AB=2.2392，
由∠FAG=∠FHE=60°，
在Rt△AFG中，FG=AF·sin∠FAG=2.5×
=2.165，
∴DM=FG+GM－DF=2.165+2.2392－1.35≈3.05，
即篮筐D到地面的距离为3.05米.
【变式3-1】（2019·济源一模）如图 1 是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图 2，从侧面看，立柱 DE 高 1.8 米，踏板静止时踏板连杆与 DE 上的线段 AB 重合，BE 长为0.2米，当踏板连杆绕着点 A 旋转到 AC 处时，测得∠CAB=37°，此时点 C 距离地面的高度CF 为 0.45 米，求 AB 和 AD 的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：过点C作CG⊥AB于G，如图所示，
由题意知，DE=1.8，FC=0.45，BE=0.2，AC=AB，∠CAB=37°，CF⊥EF，AE⊥EF，
∴四边形GCFE是矩形，
∴EG=CF=0.45，
设AC=AB=x，
在Rt△ACG中，AG=AC·cos∠CAG=0.8a，
∴AE=AG+GE=0.8a+0.45，
∵AE=AB+BE=a+0.2，
∴0.8a+0.45=a+0.2，解得：a=1.25，
即AB=1.25，
∴AD=DE－AB－BE=1.8－1.25－0.2=0.35，
即AB的长为1.25米，AD的长为0.35米.
【变式3-2】（2018·信阳一模）共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）
图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=75（cm），
即车架档AD的长是75cm；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE•sin75°
=（45+20）×0.9659
≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63 cm．
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