1.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),y=f'(x)的图象如图,则函数y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】当满足f'(x)=0的点,左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0时,该点为极小值点.观察题图,只有一个极小值点.
2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( )
A.-1
C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
【答案】D
【解析】f'(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,
解得a>6或a<-3.
3.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.1
C.2
【答案】B
【解析】y'=3x2-3a,当a≤0时,y'≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y'=3x2-3a=0⇒x=
,当1
1
4.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
【答案】C
【解析】当a=0时,f(x)=-3x2+1存在两个零点,不符合题意;
当a>0时,f'(x)=3ax2-6x=3a
令f'(x)=0,得x1=0,x2
所以f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x
要使f(x)有唯一的零点,
x0一定小于0,不符合题意;
当a<0时,f'(x)=3ax2-6x=3a令f'(x)=0,得x1=0,x2
f(x)在x=0处取得极大值f(0)=1,在x
f(x)有唯一零点,应满
a<-2(a>2舍去),且这时零点x0一定大于0,满足题意,
故a的取值范围是(-∞,-2).
5.函数f(x)
∈R)的极大值为 .
【答案】ea-1
【解析】f''(x)
f'(x)=0,得x=e1-a.当x<e1-a时,f'(x)>0;当x>e1-a时,f'(x)<0.
所以函数的极大值为f(e1-a)
6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f'(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图.则下列说法不正确的是 .(填序号)
①当x
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时,函数f(x)取得极小值;
④当x=1时,函数f(x)取得极大值.
【答案】①
【解析】由题中图象可知,x=1和x=2是函数f(x)的两个极值点,②正确;当x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,f(x)>0;当x∈(1,2)时,f(x)<0,∴x=1是极大值点,x=2是极小值点,故③④正确.
7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 .
【答案】[1,5)
【解析】f'(x)=3x2+2x-a，∵f(x)在(-1,1)内恰有一个极值点,∴f'(x)在(-1,1)内有一个变号零点,
∴f'(-1)f'(1)≤0,即(a-5)(a-1)≤0,∴1≤a≤5.
当a=5时,由3x2+2x-5=0,得x=1或x=
.
当a=1时,由3x2+2x-1=0,得x=-1或x
,∴1≤a<5.
8.设函数f(x)
(1)当a=3,且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
【解析】由f(x)
得f'(x)=ax2+2bx+c.
∵f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4,∴
(1)当a=3时,由(*)式
解得
又曲线y=f(x)过原点,∴d=0.∴f(x)=x3-3x2+12x.
(2)∵a>0,
∴“f(x)
(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),
1≤a≤9,
即a的取值范围是[1,9].
9.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
【解析】(1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
则g'(x)
当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0时,x∈
,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈
,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)单调递增区间
(2)由(1)知,f'(1)=0.
①当a≤0时,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.
②当0
(1)知f'(x)
,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈
,f'(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减,
,所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.
③当a
(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.
④当a
,0
x∈
,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围
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