陕西省西安市2017-2018年高三导数与零点
考点一。求参数取值范围
（1）设函数
,若方程
有且仅有一个实根，求
的取值范围．
解：(1) 
, 因为 当
时, 
;当
时, 
;当
时, ;所以 当
时,
取极大值 
; 当
时,取极小值 
;
故当
或
时, 方程仅有一个实根. 解得 
或
.
（2）已知函数
,若在
处取得极值，直线y=m与
的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
解：
因为在处取得极大值，所以
所以
由
解得
。在处取得极大值
，
在处取得极小值
，又直线
与函数的图象有三个不同点，则
的范围是
。
（3）已知函数
，若曲线
与直线
有两个不同的交点,求
的取值范围.
解:由,得
，令
,得
.
函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
是的最小值.
当
时,曲线与直线最多只有一个交点;
当
时,与直线有且只有两个不同交点.综上可知,的取值范围是
.
(4）已知函数
，若直线
与曲线没有公共点,求
的最大值.
解:
，直线
:
与曲线
没有公共点, 等价于关于
的方程
在
上没有实数解,即关于的方程: 
在上没有实数解.
①当
时,方程(*)可化为
,在上没有实数解.
②当
时,方程(*)化为
. 令
,则有
. 令
,得
,
当时,
,同时当趋于
时,
趋于, 从而的取值范围为
.
所以当
时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是
. 综上,得的最大值为
.
考点二。判断零点个数，证明
（1）已知函数
. 证明: 曲线y = f (x) 与曲线
有唯一公共点.
证明：
所以,曲线y=f(x)与曲线
只有唯一公共点(0,1).
(2)已知函数
,判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
解：
①当
时，
在
上单调递增， 
在上有唯一零点
②当
时，
当上单调递减，
存在唯一
使
。由①②得：函数
在
内有两个零点。
（3）已知函数
，证明：对任意的
在区间
内均存在零点．
解：
，令
，解得
当
时，在
内的单调递减，在
内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当
时，在（0，1）内单调递减，
所以对任意
在区间（0，1）内均存在零点。
当
时，在内单调递减，在
内单调递增，
若
，
所以
内存在零点。
若
，
，所以
内存在零点。
所以，对任意
在区间（0，1）内均存在零点。
（4）已知
是实数，1和
是函数
的两个极值点，设
，其中
，求函数
的零点个数．
解：由，得
，∵1和是函数的两个极值点，
∴ 
，
，解得
，则
，
令
，则
，先讨论关于
的方程
根的情况：
。
当
时，
的两个不同的根为1 和一2 ，
是奇函数，∴
的两个不同的根为-1和2。
当
时，∵
，
，∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
，① 当
时，
，于是是单调增函数，从而
，此时在
无实根。
② 当
时．，于是是单调增函数。又∵
，
，
的图象不间断，∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当
时，
，于是是单调减两数。又∵
， ，的图象不间断，∴在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当时，有两个不同的根
满足
；当 时
有三个不同的根
，满足
，现考虑函数的零点：
( i ）当
时，
有两个根
，满足
。而
有三个不同的根，
有两个不同的根，故有5 个零点。
( 11 ）当
时，有三个不同的根
，满足
，而
有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
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