上海市南洋模范中学2019届高三上第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知函数
则
__________.
2.若二项式
的展开式的各项系数和为1,则实数
的值为_______.
3.在等差数列
中,若
则正整数
_______.
4.若二次函数
是定义域为R的偶函数,则函数
的反函数
_________.
5.若实数
满足不等式
,则
________.
6.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为
,且
则∠A=___.
7.已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合,则双曲线的渐近线方程是___________.
8.已知AB是球
的一条直径,点
是AB上一点,若
,平面
过点且垂直AB，截得当圆的面积为9π时,则球的表面积是________.
9.已知
为实系数一元二次方程的两虚根,
,且
则的取值范围是_____________.
10.如果二次函数
对一切
恒有
成立,且
27,则
__________.
11.在△ABC中,BD是中线,已知
∠ABD=30°,定义
求
的最小值是____________.
12.设数列
是首项为0的递增数列,函数
满足:对于任意的实数
总有两个不同的根,则的通项公式是
____.
二、选择题(本大题共有4题,每题5分，满分20分)
13.“
”是“
”成立的充分不必要条件
A.的值可以是-8 B.的值可以是-3 C.的值可以是-1 D.的值可以是
14.下列四个命题中真命题是
A.同垂直于一直线的两条直线互相平行
B.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个
15.已知函数
若存在
且
使得
成立,则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
16.已知数列共有5项,满足
且对任意
有
仍是该数列的某一项,现给出下列4个命题:①
；②
；③数列是等差数列；④集合
中共有9个元素，则其中真命题的序号是
A.①④ B.①②③④ C.②③ D.①③④
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
17.(本题满分14分，共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分)
在长方体
中,AB=BC=2,
,过
三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体
(1)若
的中点为,求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)求点D到平面
的距离
.
18.(本题满分14分,共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分）
在△ABC中,分别是角A、B、C的对边,向量
且
(1)求角B的大小；
(2)设
且
的最小正周期为π,求在区间
上的最大值和最小值,并指出相应的
的值。
19.(本题满分14分，共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数
(1)当
时,求该函数的定义域和值域；
(2)当
时,如果
在
上恒成立,求实数的取值范围。
20.(本题满分16分，共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分)
已知数列满足
,对任意的
,都有
(1)求数列的递推公式；
(2)数列
满足
，求数列的通项公式；
(3)在(2)的条件下,设
,问是否存在实数使得数列
是单调递增数列?若存在,求岀的取值范围；若不存在,请说明你的理由。
21.(本题满分18分，共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
如图,已知椭圆
的、右两个焦点分别为
设
，
若
为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆G的标准方程；
(2)若过点(1,0)且斜率为
的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数
使∠MPO=∠NPO成立,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；
(3)若过点(1,0)的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点,记△PMQ、△PNQ的面积记为
求
的取值范围。
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