格致中学2020届高三上周末练习-2
满分：150分 时间：120分
一、填空题（本大题共12小题，其中1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）
1、若
，其中
，
是虚数单位，则
.
2、若集合
，则
.
3、若
，则实数
.
4、二项式
展开式中的常数项是 .（用数字作答）
5、已知直角三角形
中，
，则△绕直线
旋转一周所得几何体的体积为 .
6、如图所示，在复平面内，网格中每个小正方形的边长都是
，点
对应的复数分别是
，则
.
7、当
且
时，函数
的图像横过定点
，若点在直线
上，则
的最小值是 .
8、设是
轴上的两点，点
的横坐标为
，且
，若直线
的方程为
，则直线
的方程是 .
9、等差数列
的前
项和为
，
，则
中最小的是 .
10、函数
的定义域为
，值域是
，则
的最大值与最小值的和是 .
11、已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
.
12、已知函数
，若存在实数
使得函数的定义域是，值域是
，则实数
的取值范围是 .
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13、已知
是平面
内的两条直线，则“直线
”是“直线
且直线
”的（ ）
充分不必要条件 
必要不充分条件 
充要条件 
既不充分也不必要条件
14、口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列，
，如果是数列的前项和，那么
的概率为（ ）
15、已知
是△所在平面内一点，
，则
的最大值等于（ ）
16、如图，设点是单位圆上的一定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧
的长为
，
的长为
，则函数
的图像大致是（ ）
三、解答题（本大题满分76分，共5小题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号区域写出必要步骤）
17、（本大题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分，共14分）
如图，四棱锥
的底面是正方形，
是
的中点，
.
（1）求直线
与直线
所成的角；
（2）求点到平面
的距离.
18、（本大题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分，共14分）
如图，某广场有一块边长为
的正方形区域
，在点处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角
始终为
，其中，点
分别在边
上，设
，记
.
（1）用
表示
的长度，并研究△
的周长是否为定值；
（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积
至少为多少
.
19、（本大题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分，共14分）
对
，定义
.
（1）求方程
的根；
（2）记点集
，点集
，求点集
围成的区域的面积.
20、（本大题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分，共16分）
设椭圆
的一个顶点与抛物线
的焦点重合，
分别是椭圆的左、右焦点，
且过椭圆右焦点
的直线与椭圆
交于
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得
，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由；
（3）若
是椭圆经过原点
的弦，且
，求证：
为定值.
21、（本大题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分，共18分）
已知数列中，
，其前项和满足
，令
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，求证：
；
（3）令
，求同时满足下列两个条件的所有
的值：
①对任意正整数，都有
；②对任意的
，均存在
，使得当
时，
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